第八章 微分方程初步

内容提示与分析

§8.1 微分方程的一般概念

1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。

常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其一般形式为

。

偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。

2．  微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。

微分方程的解有通解与特解两种形式。

4． n 阶微分方程的通解：含有n个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方程的通解。

5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。

§8.2 一阶微分方程

    一阶微分方程的一般形式是

一、可分离变量的一阶微分方程

如果一阶微分方程能表达成

则称此方程为可分离变量的一阶微分方程。

设

，则将变量分离后得

然后两边积分

即可得微分方程通解。

二、齐次方程

齐次微分方程的标准形式为

令

两边求导，有

代入原方程得

这是一个可分离变量的方程，求解后用

代回，即可得原方程的通解。

三、一阶线性微分方程

未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程

    （1）

称为一阶线性微分方程。若

，得 

        （2）

称为一阶线性齐次方程，此时可将方程（2）分离变量，得

得(2)的通解为

       （3）

其中

为任意常数。若

，

则方程(1)称为一阶线性非齐次方程，下面我们来求方程(1)的通解。

用常数变易法，将与（1）对应的齐次方程（2）的通解（3）中的任意常数C，换成待定的函数u(x)，即设

    （4）

是(1 )的解。由于

   （5）

将（4）和（5）代入（1）得

积分得

代入（4）得

这就是（1）的通解。

所以，一阶线性非齐方程式

的通解是

。

§8.3 可降阶的高阶微分方程

一、

型  

微分方程

的右端仅含有自变量是x,将两端积分一次，就得到一个 n-1阶微分方程

再积分一次，得

   

依次进行n次积分，便得含有n个任意常数的通解。

二、

型

方程右端不显含未知函数y，（可能含有y'）

，从而原方程化为以

为未知函数的一阶方程：

如果能求出上述方程的通解

再由方程

 

可求得原方程的通解：

    

3.

型．

方程右端不显含自变量

。由于

方程就化为

如能求出通解

，即

   

利用分离变量法，可以进一步求得原方程的通解为

 

§8.4 二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线性齐次方程

二阶常系数线性齐次方程，其标准形式是

，其中a,b,c是常数，a≠0。

定理1  如果函数

的两个特解，则

   

也是方程

的解，其中

为常数。

求解微分方程

可以通过求解其相应的特征方程

的根而得。

若

①

为相异实根，

方程通解为：

②

为重根，

方程通解为：

③

时，特征方程有一对共轭的复根

方程通解为：

二、二阶常系数线性非齐次方程

二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是 

，

其中a,b,c是常数，式中的f(x)称为右端项。

定理2  设

是线性非齐次方程的一个特解，而

是相应的线性齐次方程的通解，则其和

为线性非齐次方程的通解。

定理3  设y₁是非齐次方程

的一个特解， y₂是非齐次方程

是非齐次方程

的—个特解。

这就是线性非齐次微分方程解的迭加原理。

对于右端项具有特殊形式的线性非齐次方程，其通解可以根据右端项的形式与相对应的线性齐次方程，通过待定系数法求得。

下表为特殊的右端项

的特解形式：

 

表中

是已知n次多项式，而

是待定的 n次多项式。