输运方程的推导

1 概述

对于流场中守恒的物理量，均可采用输运方程（transport equation）进行描述其随时间变化和在空间的分布规律。输运方程的通用形式为：

输运方程描述了流动过程中的物理量守恒，其包括瞬态（transient）、对流（convection）、扩散（diffusion）、源（source）四个部分。

2 适用范围

输运方程应用的前提条件为流体满足连续介质假设。

流体力学的三个基本方程（连续性方程、动量方程、能量方程）均为输运方程针对不同物理量的表述形式，纳维-斯托克斯方程（N-S方程）为动量方程针对牛顿流体的特定表述。

输运方程也适用于固体热传导等非流动现象。

3 推导过程

本文中，采用弱形式的积分推导，更有助于理解输运方程中各个项的物理含义。

做出以下定义：

• V：空间任意固定区域（不随时间改变），即控制体

• S：V 的外表面，即控制面，既可是流场真实边界（如固体表面），也可是流场内部虚拟边界

• Φ：流场的物理量，其分布随时间和空间变化，即以物理场的形式存在

对于 Φ，其随时间的变化影响因素包括：

• 通过表面 S 和周围环境的作用通量（例如流量）

• 内部源项引发的改变（例如热源）

对于区域 V，Φ 的变化率为 Φ 在 V 的体积分对时间导数：

将 S 上和 Φ 相关的通量命名为 J，则穿过表面 S 的总通量为：

法向量为外法向，此项表征了离开区域 V 的 Φ 通量。

在区域 V 内，源项的作用为：

对于区域 V，Φ 变化率和源项、表面通量之间满足关系：

通量密度 J 包括对流和扩散两个部分，两者由于物理机理不同，因此可线性叠加：

对流通量由流体宏观速度引发，其表达式为：

扩散通量由 Φ 的梯度引发，其表达式为：

其中，D 为介质的固有属性，根据物理量 Φ 的不同，有扩散率、热传导率、电传导率、粘度等多种属性。负号表示扩散方向是逆梯度的（从大向小扩散）。

综上可知，

 根据高斯公式：

可将通量改写为体积分形式：

对于瞬态项，有：

因此，可得：

由于积分区域 V 为任意形状，因此等式成立的充要条件为：

此为输运方程的通用表达形式。

4 后记

为什么使用积分形式推导：

1 物理含义清晰，推导过程始终围绕“守恒”这个物理本质展开

2 积分形式可以适用于不连续的流场，例如存在点质量源等情况

几个重要概念：

• 体积分：对函数在三维空间求积分，约等于将三维空间分成若干小块后进行求和

• 通量：向量穿过曲面的强度，数学定义中，曲面可封闭也可不封闭

• 梯度表示了函数在空间定点上最快的上升率及其方向。梯度运算针对标量，运算结果为向量。在三维空间，梯度运算为：

• 散度表示了当体积收缩到一个点时，其通量的极限状态。散度运算针对向量，运算结果为标量。在三维空间，散度运算为：