系列说明:
本系列和实变函数系列一样, 均为吴培元老师所讲课程《实变函数论》的学习笔记, 本系列为该课程的第二部分, 主讲泛函分析. 所采用的教材为 Avner Friedman 所著的 Foundations of Modern Analysis (《现代分析学基础》), 除此以外, 对于原课程讲解不清晰的地方我还参考了其他书籍作了补充(以 Gerald B. Folland 所著 Real Analysis (Modern Techniques and Their Applications) 以及 Halsey Royden 与 Patrick Fitzpatrick 合著的 Real Analysis 为主).
在实变函数系列中我们已经简单介绍过一次度量空间了, 不过当时只不过简单介绍了一下, 在这一部分, 我们来深入研究度量空间. 为此, 我们首先回顾度量空间中的一些基本概念, 重点是它诱导出来的拓扑, 然后以此为基础介绍一些拓扑学理论; 然后研究一类重要的度量空间, 也就是 空间, 它构成我们研究度量空间的范本; 考虑到 空间是完备度量空间, 它的性质非常好, 因此我们研究完备度量空间及其性质; 最后我们考察任意度量空间的完备化.
回忆一下我们在实变函数系列中学过的内容, 度量空间(metric space) 是装配了度量函数(metric) 的非空集合 . 此处所述度量函数是满足非负性、对称性以及三角不等式这三个性质的实值函数 . 并且对于 内任意两个点 和 , 我们将 解释为它们之间的距离, 借助这一几何解释, 我们很容易就能写出度量满足的这三条性质:
首先, 因为 是距离, 那么我们自然希望它是非负的, 也就是说 . 不仅如此, 如果这两个点重合, 它们的距离当然是零, 因此我们自然希望 . 此外, 朴素的几何学直觉告诉我们, 这个关系最好是充要的, 也就是说, 如果两个点之间距离为零, 那么它们必然重合. 因此非负性的完整表述就是 且 的充要条件是 .
其次, 几何上很容易理解, 两个点之间的距离不应该依赖于它们的顺序, 也就是说, 到 的距离和 到 的距离理应一致, 因此就有 , 这就是对称性的表述.
最后, 度量这个概念继承自欧式空间上的几何关系, 而我们熟知两边之和大于第三边的三角关系, 这个关系构成度量这一概念的核心, 如果将 理解为三角形的三个顶点, 那么三角关系就是说 , 这里我们还允许其取等, 因为若这三个点共线, 等号就可以取到. 一般而言, 我们更习惯于反过来操作, 即在研究两个点时插入第三个点作为辅助, 因此写成 . 这就是三角不等式的完整表述.
需要强调的是, 在实变函数论系列中, 我们还遇到了一种特殊情况, 那就是“几乎就是度量空间”的一类空间, 在这类空间中, 非负性可以满足, 但是我们只能保证重合的点距离为零, 不能保证距离为零的点重合. 典型的例子就是绝对可积函数的全体, 因为我们知道
无法保证 , 而只能保证它们几乎处处相等. 这种满足 且 以及剩下两个条件(对称性以及三角不等式)的空间称作伪度量空间(pseudometric space), 对应的 称作伪度量函数. 当时我们已经提到, 对于伪度量空间, 只要我们引入等价关系
然后让原本的伪度量空间模掉这个等价关系得到商集 , 对于 内任意两个等价类 和 , 我们定义
然后就能证明 构成度量空间. 这是因为, 如果 且 , 那么 , 进而
同理可得 , 于是就有 , 这表明 不依赖于代表元的选择, 从而良定(well-defined). 并且根据定义我们立刻看到 意味着 , 即 , 或者说 . 由此得到下述基本结论:
定理1.1.1: 设 为伪度量空间, 在 上定义等价关系
将商空间 记作 , 并在 上定义函数 如下:
我们断言, 是一个度量空间, 我们称其为伪度量空间 生成的度量空间, 记作 .
由于 和 之间只差一张窗户纸, 一捅就破, 因此在常见的语境中, 我们往往不区分二者. 就拿我们在实变函数论中遇到的例子来讲, 虽然我们常常将 称作平方可积函数空间, 但是实际上 并不是平方可积函数的全体, 而是要模掉一个等价关系(几乎处处相等的函数视作等价, 或者说 定义为 ).
度量空间是很基本的一类空间, 因为度量可以带来很好的拓扑性质. 这一拓扑性质依赖于开球(open ball)这个概念, 这也是我们熟知的: 设 为一度量空间, 设 , , 我们将
称作 中以 为球心, 以 为半径的(开)球. 而将
称作 中以 为球心, 以 为半径的闭球(closed ball). 将
称作 中以 为球心, 以 为半径的球面(sphere).
很明显, 开球和闭球满足一种单调性质: 若 , 则
毕竟如果 , 自然就有 , 而 就自然给出 .
有了开球, 我们就可以定义度量空间中的开集(open set): 设 , 若对任意的 , 存在 使得 , 则称 为开集. 换言之, 度量空间中的开集就是那些由一个个开球拼起来得到的集合(因为开集中的每个点附近都可以找到开集内部的一个开球使其成为该开球的球心). 事实上, 若 是开集, 那么对它内部任意的点 , 我们都可以找到开球 使得 , 我们把所有满足这些条件的开球取并集, 因为这个并集必然包括所有球心, 而最大又只能是 , 于是我们立刻得到
也就是说非空开集可以写成开球之并. 反过来, 若一个集合 可以写成开球之并, 那么对这个集合中的每个点 , 我们都可以找到一个开球 使得 , 根据定义, 就是开集. 因此我们立刻得到拓扑空间 的子集 是非空开集的充要条件是它可以写成开球之并. 开球自身当然可以写成开球的并集, 因此开球本身就是开集. 当然, 我们也可以完全依照定义走, 对开球 中任意一点 , 我们可以设 , 那么显然有 , 因为对于任意的 , 我们总有
于是 . 由此即可得到 为开集.
按照拓扑学的惯例, 如果一个集合 的补集是开集, 我们就称其为闭集(closed set).
回忆一下, 拓扑空间 是指定义了开集的集合 . 此处 即为 上的拓扑, 或者说 中开集的全体, 它需要满足开集公理(axioms of open sets): (i) ; (2) 对任意有限个开集 , 它们的交集也是开集, 即 ; (3) 对任意多个开集 (其中 为任意指标集), 它们的并集也是开集, 即 .
那我们在拓扑空间 上用开球定义的开集是否满足拓扑学的一般定义呢? 答案是肯定的, 不然我们就不会这么命名了!
定理1.1.2: 设 为度量空间, 令 为基于开球定义的开集之全体, 则 构成拓扑空间, 我们称其为度量函数 诱导出来的拓扑空间, 称 为 诱导出来的拓扑(也称作度量拓扑), 记作 .
证: 我们只需验证基于开球定义的开集确实满足开集公理即可. 根据前文所述, 一个集合是开集的充要条件是它可以写成开球之并, 于是我们立刻看到 是开集, 因为它可以写成
另外 也得是开集, 因为它里面没有元素, 因此 对 不存在, 或者说对于任意的 以及任意的 , 我们都有 . 这种因为定义域内啥都没有导致命题自动成立的情况我们称作命题空真(vacuous truth).
接下来我们验证第二条. 设 均为开集且 , 则对每个 , 存在 使得 , 我们取 , 那么 , 因为对于任意的 , 我们必然有 , 这一论断的证明只需沿用前面证明开球也是开集的方式即可(令 ). 进而 是每个 的子集, 从而是它们交集的子集.
最后一条是显然成立的, 因为开集可以写成开球之并, 于是开集的并集当然也可以写成开球之并, 于是开集的任意并集也是开集.
一般而言, 当我们提及某个度量空间 的时候, 都默认它带有该度量诱导出来的拓扑结构, 除非明确赋予其它的拓扑. 根据定义, 这个拓扑依赖于具体的度量函数. 那么是否存在一种可能, 即不同的度量诱导出相同的拓扑呢? 这就引出了下述概念:
定义1.1.3(拓扑等价度量): 设 和 是集合 上的两个度量, 如果它们诱导出的拓扑(或者说开集族)相同, 即 , 则称这两个度量拓扑等价.
因为拓扑等价的度量诱导出相同的拓扑(开集族), 因此只依赖于开集的那些数学概念在拓扑等价的度量下相同. 不过我们暂且不进一步讨论这个概念.
有了拓扑之后, 我们就可以按照拓扑学中的标准流程引入相关拓扑概念了.
设 , 这个集合未必是个开集, 但是没关系, 它可以有一些开子集, 它里面所有开子集的并集是 内最大的开子集, 我们将这个集合称作 的内部(interior), 将其记作 或者 . 我们将 中的点称作 的内点(interior point). 由定义可以直接得到这样的结论: 是开集的充要条件是其内部等于自身, 即 .
因为我们将闭集定义为补集是开集的集合, 对开集公理取补集后我们即可得到闭集公理, 它与开集公理等价, 由它可以定义闭集族, 对闭集族中集合取补集即可得到开集, 进而得到开集构造. 由于开集对任意并封闭, 取补集即可看到闭集对任意交封闭. 因为取交集会导致集合越来越小, 因此我们通常讨论的就是最小的闭集, 然而如果考虑 内闭集的交集, 其结果必然是空集(毕竟空集也是闭集), 这没有什么价值, 因此我们必须考虑那些包含 的闭集之交, 这就是 的闭包(closure), 也就是包含 的最小闭集, 记作 或者 , 也有记作 的. 由定义很容易看到, 是闭集的充要条件就是其闭包等于自身, 即 . 同样的分析过程也可以解释为什么我们要研究 的内部, 因为如果考虑包含 的开集, 则因为开集对任意并封闭, 最终取并集只会得到平凡的 , 这也没有任何价值.
闭包和内部之间存在一个重要的对偶关系. 我们用 表示集合 的补集(采用该记号的原因在于当我们讨论某个集合的时候, 往往是在某个空间中, 此处的补集就是对全空间而言的, 因此不必采用 的这个记号特别强调关于谁的补集, 或者说强调谁是全集). 根据上面的定义, 我们可以得到, 由可得, 注意到开集的补集是闭集, 因此是包含的闭集, 从而, 反过来就有. 另一方面, 我们还有, 于是, 再注意到闭集的补集是开集, 我们看到是含于的开集, 于是. 结合这两个方向, 我们就得到了下述重要关系:
如果我们用替换上面的, 注意到, 我们就得到
而由两边取补集则可以得到与上式类似的结果:
换言之, 我们看到补集的内部是闭包的补集, 以及内部的补集是补集的闭包. 这个对偶关系我们会在后面不断用到, 因此要熟记.
单纯在拓扑空间上考虑闭集有点空泛, 但是一旦联系到度量空间, 我们立刻就可以将其具象化. 为此, 我们需要考虑度量空间给出的一个非常有用的概念: 收敛点列.
定义1.1.4(收敛点列): 设 为度量空间, 是 内部的点列, 若存在 使得 , 则称 收敛到 , 记作 或者 (此处略去了 , 之后在上下文明确的情况下我们都采取此约定).
如果点列 收敛到 , 而我们并不清楚 是啥或者不在意它是啥, 我们就简单地说 收敛(严格说来, 我们应该说 在 内收敛). 很明显, 若 收敛到 , 则必然有
也就是说在 时 , 我们将满足这一条件的序列称作 Cauchy 列, 这是我们熟悉的, 毕竟在实变函数中我们研究了好多种 Cauchy 列. 上述推理表明, 收敛序列必为 Cauchy 列. 反过来, 直观上看, 如果一个序列是 Cauchy 列, 那么它理应收敛, 因为越往后面, 点列中任意有限间隔的点的距离都飞速降低, 即它们“几何上”越来越近, 几乎靠在一起. 然而, 并不是所有的 Cauchy 列都在原本的空间中有极限, 即不是所有 Cauchy 列都(在原本的空间内)收敛. 那种使得所有 Cauchy 列都收敛的度量空间就称作完备度量空间(complete metric space). 需要说明的是, 完备完全可以对某个子集讨论, 若 是 的子集, 且它里面任意的 Cauchy 列都在 内有极限, 我们就可以说 完备.
由于收敛这个概念依赖于具体的度量, 在我们遇到多个度量的时候容易混淆, 此时我们会具体说某个序列在度量 下收敛, 更为常见的说法则是某个序列依 收敛. 同样的, 我们就有度量 下的 Cauchy 列或者说依 Cauchy 列. 同时, 我们也将收敛的符号记作 .
很明显, 若一个序列收敛, 则这个序列的极限唯一. 因为假定若 收敛到两个点 , 那么
于是 , 度量的性质保证了 . 但是很容易看到, 在伪度量空间中我们就没法得到该结论. 另外, 若一个序列收敛, 并且它有一个收敛的子列, 则这个子列必然和原本的序列收敛到同一个极限. 理由也很简单, 若 收敛到 , 它的子列 收敛到 , 则
当 时, 上面不等式右边第一项趋于零, 因为 是 极限; 同理, 第三项趋于零; 而第二项也得趋于零, 因为收敛序列是 Cauchy 列. 此外, 若 是 Cauchy 列, 那么它的任意子序列也是 Cauchy 列, 因为它的子序列中任意两项作为 中的点, 在项的标号趋于无穷时二者距离趋于零. 结合上文所述, 我们看到, 若一个序列是收敛的 Cauchy 列, 则它的任意子序列也是收敛的 Cauchy 列, 并且和原本的序列收敛到同一个极限. 这些结论都是我们在高等数学或者数学分析中所熟知的内容.
引入收敛的概念后, 闭集的几何意义立刻就体现出来了:
定理1.1.5: 设 为一度量空间, 是它的一个子集, , 则下述陈述等价:
(a) ;
(b) 对任意的 , 总有 ;
(c) 在 中存在收敛到 的点列 .
证: 首先我们来证明 (a) 和 (b) 等价, 充分性和必要性的正方向都不大容易证明, 我们采用逆否命题来证. 假若 , 由于 是开集, 所以 就是个闭集, 并且它包含 , 由闭包的定义可知 . 由于 , 自然也就有 . 这就证明了 . 反过来, 若 , 则 , 而 是个开集, 于是存在 使得 (此处用到了补集的性质: 则 ). 这就表明 与 没有交集, 即 . 这就证明了 .
接下来我们来证明 (b) 和 (c) 等价. 假设 (b) 成立, 则对任意的 , 存在 , 于是当 时, 就有 , 这就说明 , 由此我们找到了符合 (c) 条件的点列. 这就证明了 . 直接证明 比较麻烦, 我们同样采用逆否命题来证明. 假设 (b) 不成立, 即存在 使得 , 于是 内任意一点 与 的距离必然不小于 , 即总有 成立, 这意味着 内不可能有收敛到 的点列. 由此即可证明 .
根据前文所述, 闭集就是闭包等于自身的集合, 因此若 是闭集, 则根据定理1.1.5我们立刻看到
也就是说, 若 是闭集, 则它里面任意一点都是其内部某个点列的极限; 反过来, 若 内有收敛点列, 则这个收敛点列的极限必然属于 . 由此看来, 闭集就是一些点列极限的集合. 这构成了闭集的几何解释, 我们可以认为闭集的闭就在于它关于点列取极限这个运算封闭.
定理1.1.5的一个简单应用就是讨论闭球. 我们来证明闭球是闭集. 证明很简单, 要证明闭球 是闭集, 仅需证明它的闭包就是自己, 而本身 , 因此等价于证明 . 换言之, 对任意的 , 都有 . 根据定理1.1.5, 我们知道 等价于说存在 中的序列 使得 . 因为 , 故 , 而 又意味着 , 于是
这就意味着 , 即 . 这就说明闭球闭包中的点都在闭球中, 即闭球是闭集.
在介绍完闭包这个概念后, 我们就可以进一步讨论稠密(dense)这个概念了: 若集合 的闭包为 , 即 , 则称 在 中稠密, 或称 是 的一个稠密子集. 根据定理1.1.5, 若 在 中稠密, 则由于 , 我们就有
这个结论表明, 的稠密子集 和 只差了一层皮, 里面有很多点列, 这些点列都在 内收敛, 其收敛到的点可能在 里面, 也有可能不在 里面, 但是只要把这些点都填充到 中, 我们就得到了 . 我们可以认为 是一张白纸, 而 就是往这张纸上扎好多眼(可以认为这些眼的孔径极小, 原子尺度)后得到的带眼的白纸, 当我们把这些眼补上(具体操作就是取带眼白纸上的点列极限)之后就重新得到了原本的白纸. 更一般地, 若 在 中稠密, 就意味着我们可以用 中的点列去逼近 中的点. 举个例子, 有理数在实数中稠密, , 因此我们可以将 视作是一些有理数的序列(就像我们用精度可以无限提高的尺子测量长度得到一个测量序列那样).
除此以外, 若 在 中稠密, 则根据定理1.1.5, 我们看到对任意的 , , 这意味着 的每个开子集中都有 内的点. 特别地, 对于实直线而言, 我们可以将 简单的理解为一个开区间, 于是这个性质是说若 在实直线上稠密, 则任意开区间中都有 中的点, 或者说任意两点之间都有 中的点. 用 与 为例, 就是说任意两个实数之间总是夹着一个有理数.
前面我们提到的稠密是对整个度量空间 来说的, 这可以称作“整体”稠密, 当然我们也可以限制在 的某个闭子集 上: 若 且 , 则可以说 在 中稠密(此处要求 为闭集源于 这个关系, 毕竟闭包当然是闭集). 这大概可以理解为“局部”稠密. 当然, 这俩其实没有本质区别. 更进一步, 我们可以将这里的闭子集推广为任意子集 , 但是此时不能通过 来定义稠密性, 因为此时 未必是闭集. 此时我们可以选用定理1.1.5的(c)来定义稠密性: 设 , 若 中任意一点均可由 中的点列进行逼近, 即对任意 , 存在点列 使得 , 则称 在 中稠密. 因为能用 中点列逼近的点的集合就是 , 于是 在 中稠密意味着 是 的子集, 也就是说, 在 中稠密等价于说 . 特别地, 若 是闭集, 则因 且 是包含 的最小闭集可知 , 此时的稠密性就回归到前文中的定义 了.
那么能不能更进一步呢? 把局部进行到底, 我们能否讨论某个集合“在某点处稠密”? 这似乎有点不讲道理了, 毕竟前面我们要求 , 若此时 , 那 若非空就只能是 , 这没啥意思. 但是我们还是可以沿用 “ 在 中稠密是指 中每个点都可以在 中找到点列使其成为该点列的极限” 这一说法. 为了更好沿用前面的定义, 我们可以这么想: 若我们可以找到某个特定的集合 使得 , 若此时 在 中稠密, 那么对于 中所有的点, 我们都可以用 中的点列逼近, 特别地, 对于 , 我们就可以用 中的点列进行逼近. 这里的 需要比较特殊, 它必须和拓扑空间的性质紧密联系起来. 事实上, 在前文中我们已经给出了这样的 , 那就是以 为球心的开球 . 因为度量空间 上的拓扑(也就是度量拓扑 ) 可以表示如下:
其中 是由 引出的开球之全体.
上述构造具有一般性, 在拓扑学中, 我们经常会遇到形如 这样的结构, 为此, 我们先打断一下主线, 简单介绍一个与之相关的概念. 我们现在有两个问题: (1) 若 是拓扑, 那么此处的 应当满足什么条件? (2) 满足何种条件下的 可以使得 变成拓扑? 这两个问题可以汇总为: 设 是 的某个子集族, 我们需要找到使得由定义的 是 的拓扑的充要条件.
首先, 我们希望 , 根据之前介绍过的, 这个结论空真. 而 这个条件则要求
(B1) , 使得 .
接下来是 关于有限交封闭的这个要求, 为此我们只需研究两个集合的交即可. 设 , 我们希望有 , 换言之, 我们希望有
() , , 使得 .
这个条件不是对 单独施加的, 因此我们必须想办法剥离出 来. 根据 的构造, 对任意的 , 我们首先就有 和 , 而 , 于是就存在 使得 以及 . 将其与 () 比较, 我们立刻看到, 若是 满足
(B2) , , 使得 ,
那么立刻可以得到 () 成立. 反过来, 若 () 成立, 由 可知必有 (毕竟对于任意的 以及任意的 , 我们可以找到 使得 ), 于是我们在 () 中取 即可得到 (B2).
最后, 我们需要讨论 关于任意并的封闭问题. 这个和讨论开球时类似, 结论自动成立. 因为假设 , 设 , 则存在某个 使得 , 进而存在 使得 , 因为 , 所以我们就找到了 使得 , 这意味着 .
综上所述, 我们就得到了下述结论:
定理1.1.6: 设 是集合 的一个子集族, 则由 定义的集族 构成 的一个拓扑的充要条件是 满足前文提到的条件 (B1) 和 (B2). 我们将满足这两个条件的子集族 称作 的一个拓扑基(topological basis), 称由 定义的 为 生成的拓扑.
在度量空间 中, 所有开球就构成了它的一个拓扑基.
拓扑基是对整个拓扑空间而言的, 通过拓扑基我们可以生成一个拓扑. 那么对于拓扑空间中的某个点, 我们是否也可以引入某种意义的基呢? 答案是肯定的, 事实上它依旧可以从开球得到启发. 因为我们看到, 对于度量空间 中的任意一点 , 我们都可以找到开球 使得 , 从几何上讲, 只要我们让 足够小, 我们就可以只得到点 (因为和 距离为 的点只有自身). 在一般的拓扑学中, 设 是拓扑空间, , 若集合 满足 , 我们就称 是点 的一个开邻域. 于是前面提到的开球 就是度量空间中点 的一个开邻域, 是故我们通常也将开球称作球形(开)邻域. 更一般的邻域概念不需要是开集, 但是我们要求它必须包含一个开邻域, 换言之, 若 内存在 的开邻域 , 即 使得 , 我们就称 是 的一个邻域. 邻域是个非常重要的概念, 这在我们学习微积分的时候就可见一斑. 一般而言, 人们只关心开邻域, 因此在很多教科书中就将邻域定义为开邻域. 在本系列中, 为了防止误读, 我们区分开邻域和邻域这两个概念, 换言之, 开邻域就是本身为开集的邻域. 对应地, 我们也有闭邻域, 也就是本身为闭集的邻域.
有了开邻域这个概念之后, 我们就可以进一步引入下述概念:
定义1.1.7(邻域基): 设 为拓扑空间, , 是 的一些邻域构成的集族. 若对 的任意邻域 , 总存在邻域 使得 , 我们就称 为 的邻域基(neighborhood basis), 也称做局部基(local basis).
很明显, 的所有邻域的集族构成它的一个邻域基, 这是最为平凡的一个邻域基. 我们可以稍微修改一下, 只考虑 所有开邻域的集族 . 根据定义, 对 的任意邻域 , 我们可以找到它的一个开子集 使得 , 而此处的 必然属于 , 于是 就构成 的一个邻域基. 这个邻域基和所有邻域构成的邻域基平凡程度类似.
对于度量空间而言, 很容易看到, 以 为球心的所有开球构成了 的邻域基. 这是因为, 设 是 的任意开邻域, 即 是包含 的开集, 那么根据度量拓扑的要求, 存在开球 , 进而对于 的任意邻域 , 我们可以找到开球 使得 , 其中 是 内 的开邻域.
不过需要强调的一点是, 对于度量空间而言, 我们完全没有必要考察那么大的邻域基, 我们只要考察那些半径为 的开球即可, 其中 是正整数. 这是因为, 对 的任意开邻域 , 存在开球 , 而我们总是可以找到一个足够大的正整数 使得 (这被称作实数的 Archimedean 性质). 而我们又必然有 , 这就证明了 构成度量空间中点 的一个邻域基.
现在注意, 是可数的, 因为它可以和 之间构成双射: . 在拓扑学中, 此类拓扑空间有个特殊的名字: 第一可数空间(first countable space), 也称作 A1 空间. 具体说来, 第一可数空间是指所有点都有可数邻域基(称此为第一可数性公理或者 A1公理)的拓扑空间. 如果我们把此处的局部基加强为整体基, 也就是拓扑基, 我们就可以得到第二可数空间(second countable space), 也就是存在一组可数拓扑基(称此为第二可数性公理或者 A2 公理)的拓扑空间, 也称作 A2 空间. 上一段的论证表明:
定理1.1.8: 任意度量空间在其度量拓扑下均是第一可数的.
另外注意, 如果一个拓扑空间是第二可数的, 那么我们就可以找到可数的拓扑基, 此时, 对于任意的 以及它的开邻域 , 我们就可以找到至多可数个 使得 . 由此可知 存在可数的邻域基, 换言之: 第二可数空间一定是第一可数的, 也就是说第二可数条件强于第一可数条件.
好了, 我们已经偏离主线太远了, 现在该回去了, 如果你已经忘记了主线任务, 那么请你回头重新翻阅一下.
我们继续讨论局部的稠密性问题. 根据之前的分析, 要讨论某个集合 在点 处稠密, 我们就应当考虑满足特定性质的 , 它要满足: (1) ; (2) 在 中稠密. 这里的特定性质我们已经指出, 它需要和拓扑紧密相关, 并且对于度量空间而言, 我们已经指出以 为球心的开球是个不错的候选者. 而前文又已经指出, 以 为球心的所有开球构成 的邻域基. 进而我们可以一般地定义局部稠密性为: 设 为拓扑空间, , , 是 的一个邻域基. 若存在 使得 在 中稠密, 即有 , 则称 在 处稠密.
当我们讨论了点集在某点处稠密之后, 自然就有一个与之对应的相反概念: 一个集合 在 中“处处不稠密”, 也就是说, 对于任意的 以及它的任意邻域基 , 我们都找不到 使得 在 中稠密. 如果在 中的每一点, 我们都找不到这一点的(邻域)基元素 使得 在 中稠密, 那么 中自然也不能有 的(拓扑)基元素, 因为这样一来 就变成了 中某一点的邻域了, 换言之, 我们就找到了某个点 以及它的一个邻域 使得 在 中稠密, 矛盾! 既然 中不能有 的(拓扑)基元素, 那么它里面自然不能包含任何开集(毕竟任意开集可以由拓扑基生成). 而 中最大的开集就是 , 于是我们看到, 这种“处处不稠密”的点集就要满足, 我们将满足这种条件的点集 称作无处稠密集(nowhere dense set), 也称作疏朗集或者稀疏集. 毕竟一个点集如果“处处都不稠密”, 那么它只能说是“处处稀疏”.
无处稠密以及稠密都是很重要的概念, 后者告诉我们稠密集中的点列可以逼近全空间中任意一点, 而前者则关联了 Baire 引入的一个重要概念——Baire 纲(Baire category), 与这个概念相关的就是泛函分析中的一个重要定理: Baire 纲定理, 它是我们证明很多命题时的重要工具. 我们会在1.3节介绍该定理.
之前我们给出过内部和闭包的对偶关系, 利用这个关系, 我们可以将无处稠密的定义改写一下. 我们对无处稠密的定义两边取补集, 得到其等价定义
现在利用对偶关系 我们将左边改写为
然后再利用对偶关系 将其进一步写成
由此我们得到无处稠密集的等价判定:
命题1.1.9: 设 为拓扑空间, 是无处稠密集的充要条件是
也就是说, 中包含一个稠密开集.
根据命题1.1.9, 我们可以换个角度观察无处稠密: 若 无处稠密, 则它的补集 在某种意义下稠密, 具体说来, 它的补集里面包含一个稠密的开集(若 中有稠密开集 , 即 满足 . 因为 的内部是它里面最大的开子集, 故 , 于是 , 这就证明了 ).
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