度量空间为什么含于拓扑空间呢？

　一、相关定义

　　拓扑空间的定义如下：

　　定义1. 设X是一非空集合，X的一个子集族称为X的一个拓扑，如果它满足：

　　（1）都包含在中

　　（2）中任意多个成员的并集仍在中

　　（3）中有限多个成员的交集仍在中

　　度量空间的定义如下：

　　定义2. 集合X上的一个度量是一个映射：,它满足

　　（1）正定性. , ,, 当

　　（2）对称性. ,

　　（3）三角不等式. ,

　　当集合X上规定了一个度量后，称为度量空间。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子:

　　例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。

　　例2：空间X赋予如下度量：，则X为度量空间。

　　例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。

　　例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中Hofer曾定义了如下度量：

　　从其诱导的范数称为Hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。

　　二、相关性质

　　度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。

　　命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。

　　证明:不妨假设X是可分的度量空间，A是X的子空间，B为X的可数稠密子集。下面证明为A的可数稠密子集。

　　首先证明为A的可数子集。因为B为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为A的可数子集。

　　其次证明为A的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明A中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，A中开集u为X中开集P与A的交，即.又因为B为X的稠密子集，即X的任何开集与B的交非空。所以，从而得证。

　　但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。

　　仍有许多例子在度量空间中部成立，但在拓扑空间中是成立的。比如在拓扑空间X中，序列，一般推不出，但在可余拓扑空间中，我们有如下命题：

　　命题2：在实数空间R中赋予如下的余可数拓扑，，若有序列，则当n充分大时。

　　证明：在上，序列意味着对X 的任意邻域u，当n充分大时，都在u中，而中的开集为可数集的余集。故我们取U=，此U为包含x的开邻域,但U中不含，此与矛盾。故当n充分大时。

　　命题3：f为拓扑空间到实数的连续映射，其中，则f为常值映射。

　　证明：假设f不是常值映射，即有实数c,d且和x,y有如下式子，。我们取c,d的邻域u,v使得u,v均为开集且互不相交。因为f为连续映射，所以开集的逆像为开集，记u,v的逆像集为p,q。由拓扑的定义知且p,q有交集矛盾。

　　三、结语

　　度量空间和拓扑空间是现代数学的基石，特别是现代微分几何与现代微分方程的发展度量空间的相关理论已经不能满足其需要，像在辛几何与切触微分几何中如何定义度量是一个非常棘手的问题。区分度量空间和拓扑空间具有非常显示的意义。