散度的几何意义
此外，跟梯度一样，散度这个名字也是非常形象的。很多人会跟你说散度表示的是“散开的程度”，这种说法很容易让初学者误解或者迷惑，比如一个正电荷产生的产生的如下的电场线，它看起来是散开的，所以很多就会认为这里所有的点的散度都是不为零的，都是正的。
但是，根据我们上面分析，散度反映的是无穷小曲面的通量，这直接跟这一点是否有电荷对应。那么，这个图的中心有一个正电荷，那么这点的散度不为零没毛病，但是其他地方呢？其他地方看起来也是散开的，但是其他地方并没有电荷，没有电荷的话，其他点电场的散度就应该为0（因为这个地方无穷小曲面的通量有进有出，它们刚好抵消了），而不是你看起来的好像是散开的，所以为正。
也就是说，对于一个点电荷产生的电场，只有电荷所在的点的散度不为0，其他地方的散度都为0。我们不能根据一个电场看起来是散开的就觉得这里的散度都不为0，那么，这个散开到底要怎么理解呢？
你可以这么操作：你把电场线都想象成水流，然后拿一个非常轻的圆形橡皮筋放到这里，如果这个橡皮筋的面积变大，我们就说这个点的散度为正，反正为负。如果你把橡皮筋丢在电荷所在处，那么这点所有方向都往外流，那么橡皮筋肯定会被冲大（散度为正）；但是在其他地方，橡皮筋会被冲走，但是不会被冲大（散度为0），因为里外的冲力抵消了。这样的话，这种散开的模型跟我们无穷小曲面的通量模型就不再冲突了。
方程一：高斯电场定律
说了这么多，又是证明不同散度形式（无穷小曲面的通量和▽·）的等价性，又是说明不同散度理解方式的同一性（无穷小曲面的通量和散开的程度），都是为了让大家从更多的维度全方位的理解散度的概念，尽量避开初学者学习散度会遇到的各种坑。理解了这个散度的概念之后，我们再来看麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的微分形式就非常容易理解了：
方程的左边▽·E表示电场在某一点的散度，方程右边表示电荷密度ρ和真空介电常数的比值。为什么右边要用电荷密度ρ而不是电荷量Q呢？因为散度是无穷小曲面的通量跟体积的比值，所以我们的电量也要除以体积，电量Q和体积V的比值就是电荷密度ρ。对比一下它的积分形式：
两边都除以一个体积V，然后曲面缩小到无穷小：左边的通量就变成了电场的散度▽·E，右边的电荷量Q就变成了电荷密度ρ，完美！
麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式是一一对应的，理解这种对应的关键就是理解散度（和后面的旋度）这两种不同定义方式背后的一致性，它是沟通积分和微分形式的桥梁。理解了它们，我们就能在这两种形式的切换之间如鱼得水，我们就能一看到积分形式就能写出对应的微分形式，反之亦然。
方程二：高斯磁场定律
理解了高斯电场定律的微分形式，那么高斯磁场定律的微分形式就能轻松写出来了。因为现在还没有找到磁单极子，磁感线都是闭合的曲线，所以闭合曲面的磁通量一定恒为0，这就是高斯磁场定律积分形式的思想：
那么，我们一样把这个曲面缩小到无穷小，通过这个无穷小曲面的磁通量就叫磁场的散度，那么方程的左边就变成了磁场的散度，而右边还是0。也就是说：磁场的散度处处为0。所以，麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的微分形式就是：
旋度
静电和静磁的微分形式我们已经说完了，那么接下来就是磁如何生电的法拉第定律了。关于法拉第是如何通过实验一步一步发现法拉第定律的内容，我在积分篇里已经详细说了，这里就不再多说。对法拉第定律的基本思想和积分形式的内容还不太熟悉的请先去看上一篇积分篇的内容。
法拉第定律是法拉第对电磁感应现象的一个总结，他发现只要一个曲面的磁通量（B·a）发生了改变，那么就会在曲面的边缘感生出一个旋涡状的电场E出来。这个旋涡状的感生电场我们是用电场的环流来描述的，也就是电场沿着曲面边界进行的线积分。
用具体的公式表示就是这样：
公式左边是电场E的环流，用来描述这个被感生出来的电场，而公式的右边是磁通量的变化率，用来表示磁通量变化的快慢。
这个法拉第定律是用积分形式写的，我们现在要得到它的微分形式，怎么办？那当然还是跟我们上面的操作一样：从积分到微分，我把它无限缩小就行了。那么，这里我们把这个非闭合曲面缩小缩小，一直缩小到无穷小，那么我们这里就出现了一个无穷小曲面的环流。
还记得我们怎么定义散度的么？散度就是通过无穷小闭合曲面的通量和闭合曲面体积的比值，而我们这里出现了一个无穷小非闭合曲面的环流，因为非闭合曲面就没有体积的说法，只有面积。那么，通过无穷小非闭合曲面的环流和曲面面积的比值，会不会也有是一个另外什么量的定义呢？
没错，这确实是一个全新的量，而且这个量我们在前面稍微提到了一点，它就是旋度。我们把▽算子跟矢量做类比的时候，说一个矢量有三种乘法：跟标量相乘、点乘和叉乘。那么同样的，▽算子也有三种作用：作用在标量函数上叫梯度（▽z）,以点乘的方式作用在矢量函数上被称为散度（▽·z），以叉乘的方式作用在矢量函数上被称为旋度（▽×z）。
也就是说，我们让▽算子以叉乘的方式作用在电场E上，我们就得到了电场E的旋度▽×E，而这个旋度的另一种定义就是我们上面说的无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。因为旋度的英文单词是curl，所以我们用curl（E）表示电场的旋度。所以，我们就可以写下下面这样的式子：
跟散度的两种定义方式一样，我们这里的旋度也有▽×和无穷小曲面的环流两种表述方式。在散度那里，我给大家证明了那两种散度形式等价性，在旋度这里我就不再证明了，感兴趣的朋友可以按照类似的思路去尝试证明一下。
文献：长尾科技【6】
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