Bazinga | 跳过数学定理证明导出麦克斯韦方程组微分形式的尝试

作者介绍：

加州大学圣塔芭芭拉分校数学物理专业

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本次尝试将从麦克斯韦方程组的积分形式出发. 这里假设读者至少都学习过了AP物理C电磁学/大学物理，并且熟知麦克斯韦方程组的积分形式：

我们将从这四个方程组出发，将其转换为微分形式. 其中需要涉及到两个主要的定理，斯托克定理和散度定理. 然而笔者并没有学过这些东西(多变量是下学期的课)，只是大概知道什么是散度和旋度，一点偏导和多重积分. 所以只能通过直觉验证一下这些公式（说到底还是自己太菜～）然后运用它们不严谨的推了（我不配去数学系QAQ）. 首先介绍一下必要的数学基础：

1. 散度和旋度， 

 算符

散度和旋度的概念在数学上有很好的定义. 我们从三维开始考虑. 假设向量 

 . 引入 

 算符. 我们把这个算符定义为 

 . 那么 

 的散度从符号上可以写成 

 . 可以看作这两个向量的点乘. 旋度则定义为 

 ，可以看作这两个向量的叉乘. 下面有个很长的叉乘公式：

=========（忽略就好）=============

定义向量： 

 ,

================================

但是我们的重点是讨论梯度和旋度的物理意义. 在讨论物理意义的时候，我们想象一些实际的物体是有益的. 我们可以把研究对象想象成流体，此时散度和梯度的概念都很好理解了.

先说散度. 假如我们考虑最简单的一维情况，流体只能在 

 方向运动，如下图：

此时，如果流体是不可压缩的(incompressible)，也就是说不能有大量的粒子在某一处堆积，流体的分布是均匀的，那么很显然 

 . 因为如果 

 , 越往前的流体流速就会越来越快，流体就会被拉伸开来. 反之，如果 

 , 越往前的流体流速就越慢，流体就会在前面被压缩. 现在我们考虑二维情况：

假设此时流体仍然保持不可压缩性. 此时速度变成了 

 的函数 

 . 如果此时流体保持不被压缩或者拉伸，那么 

 . 也就是说水平方向的拉伸需要竖直方向的压缩来平衡，或者水平方向的压缩需要竖直方向的拉伸来平衡. 同理，我们可以知道三维度情况是 

 . 假设我们有 

 维空间， 

 . 实际上，这个数值就等于速度的散度，也就是 

 . 从这个例子我们发现：散度可以描述液体被拉伸或者压缩的程度.

现在我们讨论一下旋度. 假设流体在坐标系原点周围形成了一个漩涡，并且漩涡内有一个粒子绕着坐标系进行圆周运动，角速度为 

 . 如图所示：

匀速圆周运动的示意图（图片来自bing）

此时，由于速度 

 和位置矢量 

 始终是保持垂直的，所以 

 . 由于 

 ，位置矢量 

 ，所以点乘之后得到 

 ，于是 

 . 此时取旋度，我们得到 

 . 我们知道速度是正比于 

 的，所以旋度给出了速度的快慢程度. 于是，旋度表示向量场周围物体的旋转快慢. 越大的旋度表示物体在这个向量场内旋转的越快.

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2. 理解斯托克定理和散度定理

我们先从斯托克定理讲起. 斯托克定理表明：假设我们有一个光滑的曲面 

 ，其边缘是曲线 

 . 假设这个曲面在一个三维向量场 

 内，那么向量 

 在曲线 

 上的线积分等于其旋度 

 在 

 上的面积分. 即 

 .

我们回到在流体的流速场内圆周运动的物体这个例子. 此时我们知道这个物体收到圆周轨道上的切向力 

 作用. 假设这个粒子的质量为 

 并且在 

 时刻的速度 

 . 那么在 

 时刻，根据牛顿第二定律我们可以得出这个粒子的加速度： 

 . 此时粒子的速度应该是 

 . 可见速度大小正比于切向力的大小. 于是这个切向力在物体上做的功 

 . 也就是说斯托克定理等式左边的一项可以表现在某一时刻力场对附近水流做功的大小. 同时， 

 表示水流旋转的快慢. 于是，一种斯托克定理的物理理解是：如果在一时刻对水流输出的功越多，水流旋转的倾向就越强.

现在我们来谈谈散度定理. 散度定理表明：假如我们有一块区域 

 ，这块区域由一个光滑的表面 

 包围，假设这个区域在一个三维向量场 

 内，那么 

 在 

 上的面积分等于该向量的散度 

 在区域 

 内的体积分，即

 .

于是，我们回到刚刚的不可压缩流体的粒子. 现在我们假设流体是可以压缩或者拉伸的，即 

 .

流体从S1扩大到S2

我们还是从最简单的一维情况考虑. 假如速度有变化，我们希望知道单位时间内有多少长度的液体被拉伸 [单位：m/s]，这个物理量可以通过积分算出，即 

 . 对于二维的液体扩张，我们希望知道单位时间有多少平方米的液体被拉伸 [单位：m^2/s]，这个物理量就是 

 . 对于三维液体，我们希望知道单位时间有多少立方米的液体被拉伸 [单位: m^3/s]，即 

 . 而这个每秒钟扩张的液体体积，就等于该曲面上的通量，即 

 .

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3.麦克斯韦方程组的转换

我们先从第一个方程说起. 我们现在有的形式是 

 . 根据散度定理，我们有 

 . 同时我们知道 

 ，其中 

 是电荷密度，那么我们就得到了 

 ，即

 （1）

现在看第二个方程就非常简单了，同样的道理 

 ，所以

 (2)

我们现在来看第三个方程. 运用斯托克定理我们得到 

 . 同时等式右边的磁通量的导数可以写成 

 ，所以 

 ，得到

 （3）

最后一个方程组，运用斯托克定理同样可以得到 

 . 等式右边有点麻烦，需要注意一下： 

 ，于是 

 . 所以得到

 (4)

至此麦克斯韦方程组从积分形式到微分形式的转化已经完成了. 积分形式更适合做具体的计算，微分形式比较适合研究理论（虽然现在还不知道怎么用）.

4.麦克斯韦方程组的对称性

到这里不得不感慨一下麦克斯韦天才的头脑. 实际上当我刚学完积分形式的麦克斯韦方程组就已经佩服的五体投地了. 麦克斯韦方程组不仅解释了经典电磁学现象，在数学上也非常优美. 其优美的体现就是麦克斯韦方程组具有高度的对称性，尤其是在真空中的形式：

我们观察前两个方程：

 (真空中无电荷)

现在看后两个：

 （真空中无电流）

同时积分形式的方程也表现出高度的对称性：

 （1）

 （2）

 （3）

 （4）

实际上如果存在磁单极，麦克斯韦的方程组的对称性和美感将会被提升到极致. 但是现在，磁单极还没有被找到. 不过能在我们的生活中出现如此优美的方程，我们理应感到满足，并且庆幸在这个混乱的宇宙中还存在这样优美的规律. 同时，我们也应该为人类这一群体中曾经出现麦克斯韦这样的天才感到荣幸. 在此引用我物理课本上的一句话：

“Maxwell’s synthesis of electromagnetism stands as a towering intellectual achievement.” 麦克斯韦对电磁学的统一是人类智慧上的至高成就

同时引用伟大的麻省理工物理教授Walter Lewin在他的电磁学课程8.02中的语录：

So we have completed a long journey, and on April 5, we have reached the summit. Now I realized that the view is not spectacular for all of you yet, because often at the summit there is some fog. But the fog will clear. And I can assure you that from here and on, it's climbing downhill. I think this moment is worth celebrating, and therefore I bought 600 daffodils for this occasion. And I would like you to come at the end of the lecture and pick up one of these daffodils and take it back to your dormitory. I don't know whether I have enough for all these high school students and all their parents, but why not, give it a shot, and take one. And when you look it tonight at home and tomorrow, remember that you only once in your life go through this experience, that for the first time you see all four Maxwell's equation complete, hold it, and that you're capable of appreciating them at least in principle. This will never happen again. You will never be the same. To put it in simple terms, as far as 8.02 is concerned, you are no longer unspoiled virginal material. You've lost your virginity. Congratulations!”