睡觉了，晚安打工人。
一、Volterra积分微分方程
二、Volterra积分微分方程 (IDE)的PINN例子
2.1 控制方程
2.2 用于求解积分-微分方程的PINNs
Volterra积分微分方程（Volterra IDE）是一类包含未知函数的导数和该函数的积分的方程。它们由意大利数学家Vito Volterra首次研究和命名，并在许多科学和工程领域中有着重要应用，特别是在描述具有记忆效应或历史依赖性的系统时。
Volterra积分微分方程是一类结合了微分方程和积分方程的数学方程，通常表示为：
这里的 是我们希望求解的未知函数， 是一个关于时间 和函数 的已知函数，而积分项中的 是一个已知的核函数。它描述了从初始时间 到当前时间 之间，系统的历史状态 如何影响当前状态的变化率 。
这类方程在物理意义上可以表示系统的当前变化速率不仅受当前状态的影响，还受到过去状态的累积影响。例如：
这里，我们考虑在区间 上的第一阶Volterra积分微分方程 (IDE)：
其精确解为 。
当求解积分微分方程（IDEs）时，我们仍然使用自动微分技术来解析导出整数阶导数，同时我们使用如高斯积分这样的经典方法数值近似积分算子。因此，我们引入了第四个误差组成部分，即由高斯积分法近似积分所导致的离散化误差 。
例如，当求解如下方程时：
我们首先使用n阶高斯积分法来近似积分
然后我们使用一个PINN来求解以下的偏微分方程（PDE）而不是原始方程：
高斯积分法是一种数值积分技术，它通过在积分区间内选择特定的点（高斯点）和相应的权重来近似积分。对于给定的公式：
我们需要做以下几步：
选择n个高斯点和相应的权重。这些点和权重通常是预先计算好的，取决于你选择的高斯积分规则（例如高斯-勒让德积分）。
对于每个高斯点，计算。
计算所有项的加权和来近似积分。
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