“齐次微分方程”的原理特性

在前面所讲的变量分离的微分方程和线性微分方程是可以用初等积分法求解的标准方程，在微分方程的应用中，出现的方程是多种多样的，如果我们能够找到一种初等的变换，把有关的微分方程化为两种标准方程之一，那么原来的方程也就得解了，至于怎么找到这种初等变换，却无偿规可循，只能说是“熟能生巧”，这一篇，我们介绍几个启发性的变换

齐次方程：

定义，设微分方程

右端的函数f(x,y)可以改为写为y/x的函数h(y/x),则称方程为齐次方程

例如：微分方程

可以分别改写成

所以它们是齐次方程，而微分方程

则不是齐次方程。

读者需注意，这里说的齐次方程与前面说的齐次线性方程不是一回事，例如dy/dx=xy是齐次线性微分方程，而不是本篇所说的齐次方程，又dy/dx=-Log(y/x)是齐次方程，而不是齐次线性微分方程

解法：设齐次方程，我们首先把它改写成

然后作变换

这里的u是新的未知函数，将此带入齐次方程，得到

由此推出

这是一个变量分离的方程，因此可以按前一篇文章中的分离变量法求出它的通积分，

例如：我们求解

这是一个齐次方程，它可以改写成

令y=xu,带入方程，得

把它化简成

再利用分离变量法，就的

两边取不定积分，推出

（这里把积分任意常数写成-LogC完全是为了使下面的结果变得比较简单）再去掉对数，就得

因为y=xu，所以我们得到齐次方程的通积分为

如果用极坐标

则这个通积分就变成r=Ce^θ，由此可见，齐次方程的积分曲线就是螺旋曲线