你好，欢迎来的我的《数学通识50讲》。
我们总是说，数学是自然科学的基础。这不仅是因为在自然科学中要用到数学，而且只有采用了数学的方法，才让自然科学从“前科学”，或者说带有巫术性质的知识体系，变成我们今天意义上的科学体系。
因此，马克思这样来描述数学和自然科学的关系：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”这个论断可以被看成是对笛卡尔理性主义的另一种描述方式，也可以被认为是对从伽利略到19世纪中期自然科学发展过程的总结。
自然科学早期被称为自然哲学，包括牛顿的名著《自然哲学的数学原理》也是用的这种提法，因为那时人们普遍把所有的学问统称为哲学，而涉及到自然界和宇宙的规律，就是自然哲学。后来到了19世纪初，英国人才把那种采用实验的方法，系统地构造和组织知识，解释和预测自然的学问称为科学。
自然科学中最典型的特征则是其自然属性，当年，亚里士多德把它笼统地称为Physics，今天直接翻译过来就是物理学，但是由于它真实的含义是包括所有的自然哲学，因此被翻译成“形而下学”，相对应的是在它之上的“形而上学”（MetaPhysics），即今天意义上的哲学。
根据科学的自然属性，它研究的是自然现象和自然现象产生的规律。因此从这个定义来讲，数学显然不属于自然科学，因为它是人为制造出来的。制造数学的目的在很大程度上是为了发展自然科学，而非数学本身，这就如同牛顿为了研究运动学而发明了微积分一样。
但是，相应的数学理论一旦出现，并反过头来作用于原来的学科时，原来的学科便脱胎换骨了。这就如同我们今天经常讲的“+互联网”，什么产业一旦利用互联网进行改造，就会使得效率倍增。自然科学各个学科的形成和发展，其实就是一个“+数学”的过程。接下来我们就来看看这个过程。
第一个被数学改造的学科是天文学。古代文明为了推算历法和预测地上发生的各种现象，发明了占星术。但是，占星术的预测是极为不准确的，因为它措辞含混，而且缺乏量化度量。
从占星术到天文学的转变源于古希腊时期，特别是靠喜帕恰斯和托勒密的工作，他们利用数学这个工具，建立起天体运动的模型，于是就能比较准确地预测天体的运动了。其中最著名的是托勒密利用几何学建立起来的地心说模型。
第二个被改造的学科是博物学，亚里士多德使用分门别类的方法，对他那个时代所了解的世界万物进行分类，这和今天数学的集合论以及函数的概念有很高的一致性。由于篇幅的原因，我们不多讲了。
第三个被改造的学科是物理学，这个过程始于阿基米德，成熟于伽利略，并且在后面不断地被发扬光大。
阿基米德最为人熟知的贡献是发现了浮力定律和杠杆原理。浮力定律并非是从大量实验中总结出来的，而是他受到洗澡时的灵感，运用逻辑得到的。至于杠杆原理，虽然比阿基米德早2000多年的古埃及人就知晓了，但是将它用数学公式描述出来的是阿基米德。
在阿基米德之后，希腊化地区不再有这个级别的科学家，因此建立物理学大厦的任务就落在了伽利略身上。伽利略的伟大之处在于，他把数学方法和实验方法结合起来研究自然界的现象，使物理学摆脱了经院哲学的束缚。杨振宁说，数学和物理是两片生长在同一根管茎上的叶子，这非常形象化地说明了数学与物理之间的关系。
在伽利略以后，物理学的数学化加快了步伐，牛顿的工作我在之前的《科技史纲60讲》中已经介绍了，这里就不多说了。在牛顿之后，最重要的物理学家是麦克斯韦，他对电磁学的贡献，堪比牛顿在经典力学上的贡献。
在麦克斯韦之前，库仑、安培、伏特、焦耳、法拉第等人都通过实验发现了电学的一些规律。但是，这些理论缺乏系统性，没有完全道出电和磁的本质。麦克斯韦和这些物理学家都不同，它是从数学出发，把前人的理论，特别是把法拉第有关电磁场的想法归纳成几个简单的方程式，使得电学和磁学统一为电磁学。
麦克斯韦的理论了不起的地方在于他预见到了当时大家还观察不到的现象，比如他在数学上推导出电磁波的方程式，预测出电磁波的存在，而电磁波在真空中的速度与当时所知的光速相近，因此他预测光也是一种电磁波，只是可见频谱波段特殊的电磁波而已。
后来赫兹等人发现了无线电波，证明麦克斯韦的预测。对于麦克斯韦的贡献，赫兹是这样说的：“我们不得不承认，这些数学公式不是完全人造的，它们本身是有智慧的，它们比我们还聪明，甚至比发现者更聪明，我们从这些公式所得到的，比当初放到这些公式中的还多。”
后来，人们发现从数学上得到的麦克斯韦方程，和牛顿的经典力学方程在高速的情况下出现了矛盾。我们在前面的课程中讲过，如果这种事情发生，而推理又没有问题，可能说明我们最初的一些基本假设出了错误。
事实上正是这个矛盾的结果导致了相对论的诞生，而最初，距离和时间绝对性的这个假设其实错了，也就是说，在高速的状态下，测量到的时间和距离会变化。这和我们前面讲到的发现暗能量的道理很相似。在20世纪，另一个物理学成就就是量子力学，也几乎完全是建立在数学基础之上的。
在历史上，数学水平不够的物理学家，地位都不会太高，比如法拉第，他虽然发现了电学上的很多定律，但是在科学上的地位和另一位电学大家麦克斯韦无法相比。直到今天，依然如此。数学对物理学的重要性，可以通过一个人的经历来说明。这个人就是以傅里叶变换而出名的法国物理学家傅里叶。
1807年，傅里叶将自己关于热传导的论文提交给法兰西科学院，但是被拒绝了，理由不是物理研究不好，而是数学不严谨。1811年的另一篇关于热传导的论文再次被科学院的学报拒绝发表，理由还是因为数学上的缺陷。
在此之后，傅里叶恶补数学，终于在1822年发布了《热的分析理论》一文，里面的数学推导极为严谨，不仅被科学家接受，而且成为了今天热传导学的经典理论。
今天，理论物理学家通常是半个数学家，在物理学方面有很多粒子，其实都是在推导数学公式时，为了让等式平衡而假设出来的，当然很多在后面被实验证实了。在宇观层面，像黑洞这种无法直接观测到的天体，以及引力波这种长期测不到的现象，也是靠数学预测的。
第四个被改造的学科是化学，实验和逻辑使得化学完成了从炼金术到科学的华丽转身。在这个过程中，“化学之父”拉瓦锡为后人确立了化学研究的方法，简单讲，就是逻辑和量化。
拉瓦锡的一大贡献是提出了氧化学说，推翻了过去的燃素说，这个成就来自于逻辑的判断。
拉瓦锡是这么考虑的，如果燃烧是因为燃料里的燃素被烧掉，那么燃烧剩余物的质量应该减少。但是，经过他的测定，燃烧后剩余物的质量却是增加的。这说明燃素说在逻辑上有问题，而能够让剩余物质量增加唯一的可能性，就是空气中的一些元素和燃料结合了，这就是氧化说。
当然，得到这个结论需要精确地度量实验结果，因此拉瓦锡留下一句名言，“没有天平就没有真理”。为了方便量化度量，拉瓦锡等人还制定了今天我们使用的公制度量衡系统。
受到数学影响比较少的行业其实是生物学和医学，这也是它们让人们感觉不太严格的原因。但是医药学要用到大量的逻辑，到了近代，还要用到大量的统计。没有统计，就没有今天的医药学。
从上面这些例子可以看出，数学对自然科学的帮助，主要体现在工具和方法两方面。数学作为工具很容易理解，比如微积分是今天很多自然科学研究的基础，离散数学是计算机科学的基础，而这在物理学中特别明显。但是，对大家更有借鉴意义的可能是在方法上。
我们从各种自然科学的升华过程可以看出，它们有这样三个共同点：
古代很多科学手稿，采用的是自然语言，而非数学语言来描述物理学的规律，这种做法不仅不形象，而且里面有一些彼此矛盾的地方难以发现。在采用了数学公式描述自然科学规律之后，由于公式的严谨性，一旦有矛盾之处，就很容易被发现。
了解了自然科学的发展在很大程度上就是“+数学”的过程，我们在自己的工作中，也不妨试试用一用这种“+数学”的方法。养成理性和量化地处理我们日常工作的习惯，建立和他人的沟通基础，是我们通识课的一个目的。希望你在留言区说说自己在这方面的例子。
下一讲，我们再看看数学与逻辑学的关系。我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》
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