杨振宁和当代数学（二）

Yang-Mills理论与几何学

在杨振宁和米尔斯的原始论文发表以后，涉及规范理论的量子化和重整化、寻求Yang - Mills方程的精确解的论文大量涌现，但只有少数人注意到规范场论的几何与拓扑意义，其中包括S. Mandel - stam(1962)，E. Lubkin(1963)和H. G. Loos(1967)。此外，R. Hermann为物理学家写了一系列数学读物，其中一部分也涉及规范场和几何的关系，不过这些工作似乎都没有产生很大的影响。于是我向杨振宁先生询问他了解规范场论与几何学之间的关系的个人体验。

张：1954年以后，您曾继续研究规范理论吗?

杨：是的，我一直在研究。在20世纪50年代和60年代，虽然物理学中还没有实际地使用非交换规范场论，但是随着时间的推移，越来越多的人欣赏到它的优美特性。例如在1964年，D. Ivanienko出版了一册辑录了12篇译成俄文的关于规范场论的论文集，这些论文的作者包括Yang - Mills，Lee - Yang，J. J. Sakurai，M. Gell - Mann等。我自己在整个20世纪50年代都在规范场论的各个方面做工作，虽然没有获得多少有用的结果。

到了20世纪60年代末期，我开始用不可积相因子的方法重新建立规范场论。有一个学期，我正在讲授广义相对论，突然注意到规范场论中的公式

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与黎曼几何中的曲率公式

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不仅十分相似，而且如果把二者的符号正确地等同起来，这两个公式乃是完全一样的。当我理解到这一点时，我内心的震撼是难以形容的。

张：这是你第一次觉察到规范场论与微分几何之间有密切联系吗?

杨：我早先曾注意到Levi - Civita的平行移动和规范场论中的不可积相因子之间的相似性，但我真正领略到二者之间的精确联系，是在我认识到公式(1)与(2)完全一样的那一瞬间。

怀着想弄清楚规范理论的几何意义的想法，我向一位杰出的几何学家赛蒙斯(J. Simons)请教，他当时是纽约州立大学石溪分校的数学系主任。赛蒙斯告诉我，规范理论一定与纤维丛上的联络有关。这之后，我试图从阅读斯廷罗德(N. E. Steenrod)的《纤维丛的拓扑学》这类书去了解纤维丛理论，结果却一无所获。对物理学家而言，现代数学的语言实在太乏味、太抽象了。

张：我想，只有数学家才会欣赏今天的数学语言。

杨：我告诉你一个有关的故事。大约在十年前，我在韩国汉城做演讲，开个即兴玩笑说：“现今只有两类现代数学著作：一类是你看完第一页就不想看下去了，另一类是你看完第一句话就不想看下去了。”后来《数学情报员》杂志还把我这个玩笑刊登出来。但是我猜想，很多数学家都会同意我的看法。

张：你在什么时候弄懂了纤维丛理论?

杨：1975年初，我邀请赛蒙斯教授给我们做一系列有关微分形式和纤维丛理论的午餐演讲，他欣然接受了这一邀请。于是我们学到了deRham定理、微分形式、拼接(patching)等。这些演讲非常有用，使我们理解了物理学中Aharonov - Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的数学含义。曹宏生和我后来还弄懂了美妙的Chern - Weil定理。回顾起来，正是这些演讲，使我理解了过去理解得不甚清楚的流形的概念。

Yang-Singer-Atiyah

张：赛蒙斯的演讲促使杨振宁和吴大峻写了一篇著名的论文：《不可积相因子的概念与规范场的整体表述》[9]。在这篇论文里，他们分析了电磁场的内蕴含义，特别强调了它的整体拓扑性质。他们讨论了Aharonov-Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的数学意义。他们还展示了如下的一个字典(后来被称为“吴–杨字典”)：

∗是广义下的电荷和电流。

半年后，即1976年夏天，麻省理工学院的数学家辛格(I. M. Singer)教授来纽约州立大学石溪分校访问，并和杨教授做了详细的讨论。Singer在大学里原本是学物理的，20世纪40年代转入数学系做研究生。他在1985年这样写道：

三十年后，我发现自己在牛津大学讲规范场理论，从吴大峻和杨振宁的字典讲起，最终得到了瞬子，即杨–米尔斯方程的自对偶解。做了三十年的数学，我似乎又回到了物理学[10，p. 200]。

为了阐述过去十年的发展，Singer在这篇文章里引用了吴–杨的字典。

1977年四五月间，一份由Atiyah，Hitchin，Singer[11]合著的预印本被广泛传阅。在这篇文章里，Atiyah-Singer的指标定理被应用到自对偶规范场上去，由此而引发了许多数学家对规范场的兴趣。

1979年，Atiyah出版了一个专题研究报告，题目是“杨–米尔斯场论的几何学”[12]。他的《论文选集》第五卷以“规范场理论”为标题。在杨振宁石溪的办公室的书架上，我发现了一册有Atiyah签名的第五卷《论文选集》。在前言中，Atiyah写道[13]：

从1977年开始，我的兴趣转向规范场理论，以及几何学和物理学的互动。一直以来，我对理论物理的兴趣不大，大多数的冲击都来自跟麦凯(George Mackey)的深入讨论。1977年的动因来自两个源泉。一方面，Singer告诉我Yang-Mills方程，通过杨振宁的影响，它正在向数学圈渗透。当Singer在1977年初访问牛津时，他与Hitchin和我周密地考察了自对偶方程。我们发现，简单应用指标定理，就可以得出关于“瞬子”的参数个数的公式。另一个动因则来自彭罗斯(Roger Penrose)和他的小组。

张：在吴–杨字典中，你们为什么留下一个问号?

杨：因为那时数学家不曾探究过物理学家十分熟悉的重要概念：源，通常用J表示。在麦克斯韦对库仑定律和安培–麦克斯韦定律的联合表述中，这是一个关键的概念。用现代数学来写，就是：

其中∗是Hodge对偶。在“无源”(J=0)的情形，则可以写成

当

(依据±号的选取，f分别称为自对偶与反自对偶的)时，此方程自动满足(因为f本身还满足另一组麦克斯韦方程

，这是法拉第定律和高斯定律的联合表述)。正是这个原因，许多数学家和物理学家开始研究自对偶与反自对偶的Yang-Mills方程。

张：这是一个极有趣的故事。自对偶规范场的研究后来引出了许多优美的数学，包括菲尔兹奖得主唐纳森的工作(下面还会提到)。

杨：是的，这故事正好提供了一个现代的例子，就是数学家可以从物理学衍生某些概念，这其实在几个世纪以前是很普遍的，不幸的是，现在很少见了。

张：有些数学概念对物理学也会变得重要，对此你有什么意见?我们会想起爱因斯坦曾被劝告去注意张量分析，这和你从赛蒙斯那里得到了帮助是否类似?

杨：爱因斯坦有博大精深和令人惊叹的洞察力，不宜将后人和他相提并论。至于数学渗入广义相对论与规范场理论的过程，是完全不同的。就前者而言，爱因斯坦没有黎曼几何就不可能写出广义相对论的方程；就后者而言，规范场论的方程早已写出来了，但后来是通过数学才了解其深意。

张：曾有许多学者早就指出，规范场论和纤维丛理论密切相关，为什么他们的论文不如你们的论文在数学界有影响力?

杨：这可能有许多原因。有些工作太形式化，以至于物理学家不能理解它究竟说了些什么;有些是由于物理内容没有被充分揭示，使得数学家觉得太微不足道。至于吴大峻和我在1975年所写的论文，关于Aharonov-Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的讨论，都有助于引起人们的关注。当然，那个字典也很有用。

张：你和Singer、Atiyah有过学术交往吗?

杨：我多次见过他们，但没有学术合作。

杨振宁和当代数学（一）

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