注意到：我们在定义时并不要求是的子集，事实上，倘若存在,我们将其映回为.
有了开集、闭集和拓扑基的定义之后我们可以证明下列几个说法是等价的：
下列各条是等价的:
(a) 是连续映射;
(b) 若 是 的一组拓扑基, 内每个成员的原象为 的开集,
(c) , 对于 的任何子集 ;
(d) , 对于 的任何子集 ;
(e) 内任何闭集的原像为 的闭集.
我们采用循环证明的方法：
:由定义开集的原像任意是开集，而每个拓扑基成员是开集，因此显然成立；
：显然我们有：,因此，我们只需要证明对任意的,如果那么必然是的极限点.设是在中的一个开集，则存在开集可以用拓扑基的并表示为,那么.假设成立，那么的原像是开集，从而是的一个邻域，而是的极限点，因此中必有中的点，因此从而含有中的点，得到所证.(注意到极限点的定义.)
:直接取即得证.
:若是集，那么从中就可以看出：
得证.
:对闭集取补即可.
注意到，我们在定义连续映射时说开集的原像是开集，此时的开集并没有一定要使开集落在中，因此可以放心的使用各种集合论中的 手段.
下边我们看一下连续映射有哪些性质：
设 是一映射, 是 的子集, . 记 是 在 上的限制,则
(1) 如果 在 连续,则 在 也连续;
(2) 若 是 的邻域, 则当 在 连续时, 在 也连续.
（1）设 是 的邻域,则 是 在 中的邻域, 即存在开集 , 使得 . 而 , 这里 是 的包含 的开集. 这就验证 在 的连续性.
（2）设 是 的邻域,根据条件存在 中的开集 , 使 得 . 设 ,其中 是 的 开集. 则 也是 的开集, 且 . 因此 在 连续.
下边介绍几个经典的连续映射：
恒同映射：id : (即 id ) 是连续映射.(\hs{注意到：这里的两个是指完全相同的拓扑空间，而非仅仅是集合的相等，读者可以举出例子，如果两边装备的拓扑不同，即使是恒同映射也难以做到连续映射！})
含入映射：设 是 的子空间, 记 是包含映射 (即 , , 则 是连续映射, 因为当 是 的开集时, 是 的开集.
常值映射：如果 是常值映射,即 是 中一点 , 则 连 续,因为 若 , 或 (若 .
离散拓扑/平庸拓扑：如果 是离散拓扑空间,或 是平凡拓扑空间, 则 一定是连续的.(请证明！)
下边一个例子可以说明：虽然两个集合作为集合本身是相等的，但是如果两边的拓扑不同，即使是恒同映射，那么映射也不是连续的！
设 为具有通常拓扑的实数集. 为具有下限拓扑的实数集. 令
为恒等函数, 即对于每一个实数 但是 不是一个连续函数. 因为 的开集 的原像还是 , 它不是 的开集. 而另一方面, 恒等函数
设 和 都是拓扑空间,映射 在 处连续, 在 处连续;则复合映射 在 连续.
该定理我们已经证明了很多遍，请大家自行尝试！
下边的一个定理，是非常重要的一个定理，它是我们构造连续映射或者同胚映射常用的手段，被称为焊接引理或者粘贴引理，我们在这里给出较为简单的形式，后边会看到更加一般的形式;在此之前，让我们先引入几个基本概念：
设 是拓扑空间 的子集族,称 是 的一个覆盖,如果 (即 至少包含在 的一个成员中).如果覆盖的每个成员都是开(闭)集，则我们称对应的覆盖为开(闭)覆盖；如果覆盖只包含有限个成员时,称 是有限覆盖.
设 是 的一个有限闭 覆盖. 如果映射 在每个 上的限制都是连续的,则 是 连续映射.
只需要证明闭集的原像是闭集即可.
设 是 的闭 集,记 是 在 上的限制,则
是连续的,因此 是 的闭集. 又因为 , 是 的闭 集, 所以 也是 的闭集 作为有限个闭集的并集也是闭集.
现在我们再次回头来说明一般拓扑空间中序列收敛丧失的良好性质！在数学分析中：我们曾用序列定义函数的连续性！对任意的，如果对任何的,都有则称函数在点连续；但是在一般的拓扑空间中，我们却没有这样的性质!如果函数是连续的，那么只能正面推，但是反之不行，这里举出一个反例！
例如：取为不可数集合，拓扑为余可数拓扑，是离散的拓扑空间，那么时，对充分大的时候,从而.但是我们只要令为某个单射，他就不可能是连续的.这是因为是的邻域，但其原像是不是开集！(正面推可以留作习题训练！)
下边将进入拓扑学研究核心内容之一：同胚映射及同胚映射下的不变量：
如果 是 一一对应, 并且 及其逆 ; 都是连续的,则称 是一个同胚映射,或称拓扑变换,或简称同胚. 当存在 到 的同胚映射时, 就称 与 同胚，记作
必须强调的一点是：和都连续的条件是不可缺少的！
连续这个条件是说, 对于 的每一个开集 , 在 下它的原像是 中的开 集. 但是, 在映射 下的原像就是 在映射 下的像. 于是, 可以用另一种 方式将同胚定义为一一映射 , 使得 是一个开集的充分必要条件是 是一个 开集. 下边我们就给出一个例子说明为何定义同胚时只给出一一映射且连续时推不出也是连续的！
设 表示单位圆周 (unit circle),
\mathbb{R}^{2}$ 的一个子空间. 设映射定义为 . 我们应用三角函数的性质推得 是一个连续的一一映射. 但 是 不连续. 例如, 定义域中的开集 在 下的像不是 中的开集, 这是由于不 存在 中包含 的开集 , 使得 .
中的单位球体 的内部 同胚于 同胚映射 可规定为: , . 它的逆映射为：
想想老师上课举的那个同胚，我只能说合理且直观但是是给人看的吗？
(O 为原点).
规定 为 . 其几何意义为每 一点背向原点 移动单位长, 则 是一一对应, 并且连续. 是每一 点朝 移动单位长, 也是连续的
任何凸多边形 (包含内部) 都互相同胚.
这里我们仅以凸多边形为五边形和三角形来说明这一这一问题，其他多边形证明方法是类似的！
如图中我们可以看到，五边形和三角型都被分割成了三份，在上建立仿射变换,又因为在边界上他们是相同的，因此规定出的一一映射，根据粘贴引理可知，他们同胚！
球面 去掉一点后与 同胚. 球极投射就是把去掉北极 点的球面映射到赤道平面的一个同 胚映射它的分析表达
具体的几何表示如图所示.
任何凸多边形和同胚.
首先由于任何凸多边形都和一个边长为的正方形同胚的，因此我们只需要证明这个正方形同胚于单位圆盘即可！下边我们来叙述这件事情，定义映射：，这就是正方形到单位圆盘的一个映射，具体如图所示！
下边我们看一下，子空间中最重要的一个连续映射：投射.
设 定义为
定义为
映射 和 分别称为 到它的第一因子和第二个因子上的投射 (projections).
不难验证和都是连续映射，比如对而言，中开集的原像是,而这显然就是中的一个开集！且我们还有如下的定理！
族 是 中的开集 是 中的开集 是 的拓扑(我们之前定义的那种)的一个子基.
验证该定理并不是一件困难的事情！一般我们将这种方式生成的的拓扑称为积拓扑，而将最开始我们定义的拓扑的方式称为箱拓扑，现在看来我们两者之间是没有差别的，但是我们为什么又非要区分呢？这是因为当我们想要将定义有限笛卡尔集上拓扑的方法推广到无穷笛卡尔集上定义拓扑的时候这两种拓扑是不同的！且两者在某些方面性态相差十分大！
为了认识到两种拓扑的不同，我们需要将其放在无穷乘积拓扑空间中考察！为了定义无穷乘积空间上的拓扑，我们首先得先定义好无穷笛卡尔基！
设 是一个指标集. 对于给定的集合 的元素的 -串 -tuple 定义为一个映 射 若 为 的一个元素, 我们用 表示 在 处的值, 而再不用 表示这个值, 并且将它称为 的第 个坐标(coordinate). 我们将用记号表示函数 本身. 这个“串记法”使我们将 -串对于指标族的依赖表示得更明确些. 用 表示 中元素的 -串的全体.
(最开始不方便理解时，我们仍然可以模仿 有限情况那样的理解，一个点有无穷个分量，每个分量分别是.)
设 是一个加标集族, . 加标集族 的笛卡儿积 (Cartesian product), 定义为使得对于每一个 有 的 的元素的所有 -串 的集合, 用 表示. 也就是说, 它是所有这样的函数
的集合, 这些函数要求满足条件: 对于每一个 有 .
当指标集无需强调时,有时我们也用 表示上述笛卡儿积, 其元素则记为 . 当所有的 都等于同一个集合 时, 笛卡儿积 恰为所有 的元素的 -串的集合 .
对于 的元素, 我们有时使用“串记法”表示,有时使用函数表示, 依方便而定.
设 是拓扑空间的一个加标族. 积空间上的某一个拓扑的基取为所有形如
上的某一个拓扑的基取为所有形如
的集合的族, 其中对于每一个 在 中是开的. 由这个基生成的拓扑叫做箱拓扑 (box topology).
这种拓扑的定义其实是我们最开始拓扑基定义的推广！回忆一下那时我们拓扑基是这样的：
若干个的并,是中的开集
这里只不过是将有限个换为无穷个而已！
另一种则是用子基定义的：设函数
将笛卡儿积空间的每一个元素对应其第 个坐标, 即
我们把 称为关于指标 的投射 (projection mapping).
今 表示族
今 为所有族 的并
子基 生成的拓扑称为积拓扑 (product topology). 给定了这个拓扑的 称为积空间 (product space).
现在我们比较一下积拓扑和箱拓扑的基元素的不同点是什么：
对于箱拓扑而言，每个是中的开集，而对于积拓扑，只有有限个是中的开集，而剩下的都是中的全集.这帮我们看清楚了两种拓扑中元素的的不同，但是哪个更拓扑更良好一些呢？事实上我们更偏爱积拓扑，我们后边会举出多个例子来说明这一原因.
下边的几个事实我们仅作罗列不加证明：
接下来的一个定理会告诉我们为什么我们更偏爱积拓扑：
映射 定义为
其中对每一个 . 设 具有积拓扑, 则 连续当且仅当每一个函数 连续.
证明：一个方向是显然的：如果是连续的，那么也是连续的.
设是的投射，那么,连续函数的复合是连续映射，因此是连续映射；
反之我们只需要在证明任何一个子基的原像是开集即可.积拓扑的一个子基元素是：，其中是中的开集.我们求原像是开集即可.而因为：，所以：
因此子基的原像是开集，连续性得证.
但是箱拓扑就没有这样的性质了，给出直接的反面证明是不现实的，我们给出反例来说明：
考虑 的可数无限积 .
对于每一个 . 函数 定义为
其第 个坐标函数是 . 每一个坐标函数 都连续, 所以当赋予 积拓扑时, 是连续的. 而当 给的是箱拓扑时, 不连续. 例如, 取箱拓扑的基元素
我们断言: 不是 中开集. 事实上, 如果 是 中开集, 它必定包含 0 旁边的某 一个区间 , 也就是说 . 将 作用于这个包含关系的两边, 可见对于 所有 ,
这是一个矛盾.
箱拓扑糟糕的性质远非这些，我们在度量拓扑中会再次介绍.
参考资料：Munkres Topology/尤承业 基础拓扑学
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