肖博数学小题专练·(十二) 圆锥曲线
一、选择题
1.(2017·天津高考)已知双曲线x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>0，b>0)的右焦点为
F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O
为原点)，则双曲线的方程为( )
A.
x
2
4-
y
2
12=1 B.
x
2
12-
y
2
4=1
C.
x
2
3-y
2=1 D.x
2-
y
2
3=1
答案 D
解析 由△OAF 是边长为 2 的等边三角形可知，c=2，
b
a=tan60°
= 3，又 c
2=a
2+b
2，联立可得 a=1，b= 3，∴双曲线的方程为 x
2
-
y
2
3=1。
2.已知椭圆 C：
x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右顶点是圆 x
2+y
2-4x+3
=0 的圆心，其离心率为 3
2 ，则椭圆 C 的方程为( )
A.
x
2
4+y
2=1 B.
x
2
3+y
2=1
C.
x
2
2+y
2=1 D.
x
2
4+
y
2
3=1
答案 A
解析 由题意知圆(x-2)2+y
2=1 的圆心为(2,0)，所以 a=2，又c
2
=
3
2 ，所以 c= 3，b= 4-3=1，所以椭圆 C 的方程为x
2
4+y
2=1。
3.已知双曲线 C：
x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2的对称点分别
2
为 A，B，线段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|-|BN|=12，则
a=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析 如图，设 MN 的中点为 P。∵F1为 MA 的中点，F2为 MB
的中点，∴|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|，又|AN|-|BN|=12，∴|PF1|-|PF2|
=6=2a，∴a=3。故选 A。
4.设 F1，F2 分别为椭圆x
2
4+y
2=1 的左、右焦点，点 P 在椭圆
上，且|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，则∠F1PF2=( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
答案 D
解析 解法一：设∠F1PF2=θ，根据余弦定理|F1F2|
2=|PF1|
2+
|PF2|
2-2|PF1|·|PF2|cosθ，即 12=|PF1|
2+|PF2|
2-2|PF1|·|PF2|cosθ。由
|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，得 12=|PF1
→ |
2+|PF2
→ |
2+2|PF1
→ |·|PF2
→ |cosθ。两式相减
得 4|PF1|·|PF2|cosθ=0，cosθ=0，θ=
π
2。
3
解法二：因为PF1
→ +PF2
→ =2PO
→ ，O 为坐标原点，|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，
所以|PO|= 3，又|OF1|=|OF2|= 3，所以 P，F1，F2 在以点 O 为圆
心的圆上，且 F1F2为直径，所以∠F1PF2=
π
2。
5.(2017·衡水中学二调)设椭圆
x
2
16+
y
2
12=1 的左，右焦点分别为
F1，F2，点 P 在椭圆上，且满足PF1
→ ·PF2
→ =9，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A.8 B.10
C.12 D.15
答案 D
解析 由椭圆方程x
2
16+
y
2
12=1，可得 c
2=4，所以|F1F2|=2c=4，
而F1F2
→ =PF2
→ -PF1
→ ，所以|F1F2
→ |=|PF2
→ -PF1
→ |，两边同时平方，得|F1F2
→
|
2=|PF1
→ |
2-2PF1
→ ·PF2
→ +|PF2
→ |
2，所以|PF1
→ |
2+|PF2
→ |
2=|F1F2
→ |
2+2PF1
→ ·PF2
→ =
16+18=34，根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=8，所以 34+
2|PF1||PF2|=64，所以|PF1|·|PF2|=15。故选 D。
6.A 是抛物线 y
2=2px(p>0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐
标原点，当|AF|=4 时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是( )
A.x=-1 B.y=-1
C.x=-2 D.y=-2
答案 A
解析 过 A 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x 轴的交点为 D。
因为∠OFA=120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF=30°，从而 p=
|DF|=2，因此抛物线的准线方程为 x=-1。故选 A。
7.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线 C：y
2=4x 的焦点 F，且斜率为 3的
直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且
4
MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为( )
A. 5 B.2 2
C.2 3 D.3 3
答案 C
解析 由题意知 F(1,0)，直线 FM 的方程为 y= 3(x-1)，与 y
2
=4x 联立得 y
2-
4
3
y-4=0，因为 M 在 x 轴上方，解得 M 的纵坐标
为 2 3，则 M(3,2 3)。由 l：x=-1，MN⊥l 得 N(-1，2 3)，所以
直线 NF 的方程为 y=- 3x+ 3，点 M 到 NF 的距离 d=
|2 3+3 3- 3|
2 =2 3，故选 C。
8.(2017·湖南百校联盟联考)已知椭圆x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右顶点
和上顶点分别为 A，B，左焦点为 F。以原点 O 为圆心的圆与直线 BF
相切，且该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，过点 C 的直线交椭圆于 M，
N 两点。若四边形 FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A.
3
5
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
答案 A
解析 ∵圆 O 与直线 BF 相切，∴圆 O 的半径为bc
a ，即|OC|=
bc
a ，
∵四边形 FAMN 是平行四边形，∴点 M 的坐标为
a+c
2 ，
bc
a
，代入椭
圆方程得
(a+c)
2
4a
2 +
c
2b
2
a
2b
2=1，∴5e
2+2e-3=0，又 0
3
5。故
选 A。
5
9.(2017·吉林市高考数学二模)已知双曲线 C1：
x
2
4-y
2=1，双曲
线 C2：
x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双曲线
C2的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF2，O 为坐标原点，若 S△OMF2=
16，且双曲线 C1，C2 的离心率相同，则双曲线 C2 的实轴长是( )
A.32 B.16
C.8 D.4
答案 B
解析 双曲线 C1：
x
2
4-y
2=1 的离心率为 5
2 ，设 F2(c,0)，双曲线
C2 一条渐近线方程为 y=
b
a
x，可得|F2M|=
bc
a
2+b
2
=b，即有|OM|=
c
2-b
2=a，由 S△OMF2=16，可得1
2
ab=16，即 ab=32，又 a
2+b
2=
c
2，且c
a=
5
2 ，解得 a=8，b=4，c=4 5，即有双曲线的实轴长为 16。
故选 B。
10.已知抛物线 y
2=8x 的准线与双曲线x
2
a
2-
y
2
16=1(a>0)相交于 A，
B 两点，点 F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离
心率为( )
A.3 B.2
C. 6 D. 3
答案 A
解析 由题意知抛物线的准线方程为 x=-2，代入双曲线方程
得 y=±
4
a
· 4-a
2，不妨设 A
-2，
4
a
· 4-a
2 ，∵△ABF 是等腰直角三
角形，∴
4
a
· 4-a
2=4，得 a= 2，∴双曲线的离心率为 e=
c
a=
a
2+16
a
6
=
18
2
=3，故选 A。
11.(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 是椭圆 C：
x
2
3+
y
2
m=1 长轴的两个端
点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9，+∞) B.(0， 3]∪[9，+∞)
C.(0,1]∪[4，+∞) D.(0， 3]∪[4，+∞)
答案 A
解析 依题意得，
3
m
≥tan
∠AMB
2 ，
0
或
m
3
≥tan
∠AMB
2 ，
m>3，
所以
3
m
≥tan60°
0
或
m
3
≥tan60°，
m>3，
解得 0
12.(2017·南昌一模)抛物线 y
2=8x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1+x2+4=
2 3
3
|AB|，则∠AFB
的最大值为( )
7
A.
π
3
B.
3π
4
C.
5π
6
D.
2π
3
答案 D
解析 由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又 x1+x2
+4=
2 3
3
|AB|，得|AF|+|BF|=
2 3
3
|AB|，所以|AB|=
3
2
(|AF|+|BF|)。所
以 cos∠AFB=
|AF|
2+|BF|
2-|AB|
2
2|AF|·|BF| =
|AF|
2+|BF|
2-
3
2
(|AF|+|BF|)
2
2|AF|·|BF| =
1
4
|AF|
2+
1
4
|BF|
2-
3
2
|AF|·|BF|
2|AF|·|BF| =
1
8
|AF|
|BF|+
|BF|
|AF| -
3
4≥
1
8×2
|AF|
|BF|
·
|BF|
|AF|
-
3
4=-
1
2，而 0<∠AFB<π，所以∠AFB 的最大值为2π
3 。
二、填空题
13.(2017·北京高考)若双曲线 x
2-
y
2
m=1 的离心率为 3，则实数
m=________。
答案 2
解析 由双曲线方程 x
2-
y
2
m=1 得 a
2=1，则 a=1。∵c
2=a
2+b
2
=1+m，∴c= m+1。∴e=
c
a=
m+1
1 = 3。∴m=2。
14.已知椭圆x
2
a
2+y
2=1(a>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 F1
关于直线 y=-x 的对称点 P 仍在椭圆上，则△PF1F2 的周长为
________。
8
答案 2 2+2
解析 椭圆左焦点 F1(-c,0)关于直线 y=-x 的对称点 P(0，c)
仍在椭圆上，则 c=b=1，a= 2，则△PF1F2的周长为 2a+2c=2 2+
2。
15.(2017·武汉高三调研)已知抛物线 Γ：y
2=8x 的焦点为 F，准
线与 x 轴的交点为 K，点 P 在 Γ 上且|PK|= 2|PF|，则△PKF 的面积
为________。
答案 8
解析 由已知得，F(2,0)，K(-2,0)，过 P 作 PM 垂直于准线，
则|PM|=|PF|，又|PK|= 2|PF|，∴|PM|=|MK|=|PF|，∴PF⊥x 轴，△
PFK 的高等于|PF|，所以|PF|=|KF|=4，S△PFK=
1
2
|PF|·|KF|=
1
2×4×4
=8。
16.椭圆 C：
x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右焦点为 F，双曲线 x
2-
y
2
3=1
的一条渐近线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 AF⊥BF，则椭圆 C 的离
心率为________。
答案 3-1
解析 不妨取双曲线 x
2-
y
2
3=1 的一条渐近线的方程为 y= 3x，
则∠AOF=60°。记椭圆 C 的左焦点为 F1(-c,0)，依题意得四边形
AFBF1为矩形，|OA|=|OB|=|OF|=|OF1|=c，所以△AFO 是正三角形，
所以|AF|=c，|AF1|= 3c，则椭圆 C 的离心率为 e=
c
a=
2c
2a=
|FF1|
|AF|+|AF1|
=
2c
c+ 3c
= 3-1。
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