肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.下列函数中，最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是
( )
A.y=cos
2x+
π
2
B.y=sin
2x+
π
2
C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx
答案 A
解析 y=cos
2x+
π
2 =-sin2x，最小正周期 T=
2π
2 =π，且为奇
函数，其图象关于原点对称，故 A 正确;y=sin
2x+
π
2 =cos2x，最
小正周期为 π，且为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 B 不正确;C、
D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C、D 不正确。
2.(2017·海南联考)已知 f(x)=2sin
2x+
π
6 ，若将它的图象向右平
移
π
6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)图象的一条对称
轴的方程为( )
A.x=
π
3
B.x=
π
4
C.x=
π
6
D.x=
π
12
答案 A
解析 f(x)=2sin
2x+
π
6 ，若将它的图象向右平移π
6个单位长度，
得到函数 g(x)=2sin
2
x-
π
6 +
π
6 =2sin
2x-
π
6 的图象，令 2x-
π
6=kπ
+
π
2，k∈Z，求得 x=
kπ
2 +
π
3，故函数的图象的一条对称轴的方程为 x
2
=
π
3，故选 A。
3.(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=
1
5
sin
x+
π
3 +cos
x-
π
6 的最大值为
( )
A.
6
5
B.1
C.
3
5
D.
1
5
答案 A
解析 因为 cos
x-
π
6 =cos
x+
π
3 -
π
2 =sin
x+
π
3 ，所以 f(x)=
6
5
sin
x+
π
3 ，于是 f(x)的最大值为6
5，故选 A。
4.若 f(x)=sin(2x+φ)+b，对任意实数 x 都有 f
x+
π
3 =f(-x)，
f
2π
3 =-1，则实数 b 的值为( )
A.-2 或 0 B.0 或 1
C.±1 D.±2
答案 A
解析 由 f
x+
π
3 =f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x=
π
6对称，∴
2×
π
6+φ=
π
2+kπ，k∈Z。当直线 x=
π
6经过最高点时，取 φ=
π
6;当直
线 x=
π
6经过最低点时，取 φ=-
5
6
π。若 f(x)=sin
2x+
π
6 +b，由 f
2
3
π =
-1，得 b=0;若 f(x)=sin
2x-
5
6
π +b，由 f
2
3
π =-1，得 b=-2。
所以 b=-2 或 b=0。
5.将函数 f(x)=sin
2x+
π
6 的图象向左平移 φ
0<φ≤
π
2 个单位长
度，所得的图象关于 y 轴对称，则 φ=( )
3
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
答案 A
解析 将函数 f(x)=sin
2x+
π
6 的图象向左平移 φ
0<φ≤
π
2 个单位
长度，得到的图象所对应的函数解析式为 y=sin
2(x+φ)+
π
6 =
sin
2x+2φ+
π
6 ，由题知，该函数是偶函数，则 2φ+
π
6=kπ+
π
2，k∈Z，
又 0<φ≤
π
2，所以 φ=
π
6，选项 A 正确。
6.(2017·甘肃兰州一模)函数f(x)=sin(ωx+φ)
x∈R，ω>0，|φ|<
π
2
的部分图象如图所示，如果 x1+x2=
2π
3 ，那么 f(x1)+f(x2)=( )
A.
3
2
B.
2
2
C.0 D.-
1
2
答案 C
解析 由题图知，T=π，ω=2，∴f(x)=sin(2x+φ)，将
π
3，0 代
入函数，根据 φ 的范围，得 φ=
π
3，∴f(x)=sin
2x+
π
3 。∵图象关于
π
3，0
4
中心对称，x1+x2=
2π
3 ，∴x1，x2的中点为π
3，则 f(x1)+f(x2)=0。
7.(2017·哈尔滨一模)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0)，y
=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单
调递增区间是( )
A.
kπ-
π
12，kπ+
5π
12 ，k∈Z
B.
kπ+
5π
12，kπ+
11π
12 ，k∈Z
C.
kπ+
π
6，kπ+
2π
3 ，k∈Z
D.
kπ-
π
3，kπ+
π
6 ，k∈Z
答案 D
解析 因为 f(x)=2sin
ωx+
π
6 ，所以最小正周期 T=
2π
ω。又由题
设可知 T=π，故 T=
2π
ω=π⇒ω=2，故 f(x)=2sin
2x+
π
6 ，其单调递
增区间为 2kπ-
π
2≤2x+
π
6≤2kπ+
π
2，即 kπ-
π
3≤x≤kπ+
π
6，k∈Z，故
选 D。
8.(2017·安徽宿州一模)将函数 f(x)=3sin
2x-
π
4 的图象先向左平
移
π
4个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，
则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象( )
A.关于点(-2,0)对称
B.关于点(0，-2)对称
C.关于直线 x=-2 对称
D.关于直线 x=0 对称
答案 B
5
解析 将函数 f(x)=3sin
2x-
π
4 的图象先向左平移π
4个单位长度，
再 向 下 平 移 4 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 g(x) 的 解 析 式 g(x) =
3sin
2
x+
π
4 -
π
4 -4=3sin
2x+
π
4 -4=-3sin
-2x-
π
4 -4=-f(-x)
-4，故两个函数的图象关于点(0，-2)对称，故选 B。
9.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0，|φ|<
π
2 的最小正周期为 π，且
其图象向右平移π
6个单位后得到函数 g(x)=sinωx 的图象，则函数 f(x)
的图象( )
A.关于直线 x=
5π
12对称
B.关于直线 x=
π
12对称
C.关于点
π
12，0 对称
D.关于点
5π
12，0 对称
答案 B
解析 依题意得 T=
2π
ω=π，ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，将 f(x)的图
象向右平移π
6个单位后得到函数 y=sin
2
x-
π
6 +φ =sin2x 的图象，因
此 φ-
π
3=2kπ，k∈Z，φ=2kπ+
π
3，k∈Z，又|φ|<π
2，因此 φ=
π
3，f(x)
=sin
2x+
π
3 。f
5π
12 =sin
2×
5π
12+
π
3 =-
1
2，f
5π
12 ≠±1 且 f
5π
12 ≠0，因
此 f(x)的图象不关于直线 x=
5π
12对称，也不关于点
5π
12，0 对称。f
π
12 =
sin
2×
π
12+
π
3 =1，因此 f(x)的图象关于直线 x=
π
12对称，故选 B。
6
10.(2017·泉州模拟)已知函数 f(x)=2sin
x+φ
2
cos
x+φ
2
|φ|<
π
2 ，且
对于任意的 x∈R，f(x)≤f
π
6 ，则( )
A.f(x)=f(x+π) B.f(x)=f
x+
π
2
C.f(x)=f
π
3-x D.f(x)=f
π
6-x
答案 C
解析 函数 f(x)=2sin
x+φ
2
cos
x+φ
2 =sin(x+φ)
|φ|<
π
2 ，若对任意的
x∈R，f(x)≤f
π
6 ，则 f
π
6 等于函数的最大值，即π
6+φ=2kπ+
π
2
(k∈Z)，
则 φ=2kπ+
π
3，k∈Z，又|φ|<π
2，∴φ=
π
3，∴f(x)=sin
x+
π
3 ，∴f(x)的周
期为 T=2π，A，B 错误;又 f(x)图象的对称轴是 x=kπ+
π
6，k∈Z，C
正确，D 错误。故选 C。
11.(2017·全国卷Ⅰ)函数 y=
sin2x
1-cosx
的部分图象大致为( )
答案 C
解析 因为函数 f(x)=
sin2x
1-cosx
的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，f(-
7
x)=
sin(-2x)
1-cos(-x)
=
-sin2x
1-cosx
=-f(x)，所以 y=
sin2x
1-cosx
为奇函数，其图
象关于原点对称，故排除 B;因为 f
π
2 =
sinπ
1-cos
π
2
=0，f
3π
4 =
sin
3π
2
1-cos
3π
4
=
-1
1+
2
2
<0，排除 A;f(π)=
sin2π
1-cosπ
=0，排除 D。故选 C。
12.(2017·东北三校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω≤12，ω
∈N*,0<φ<π)图象关于 y 轴对称，且在区间
π
4，
π
2 上不单调，则 ω 的可
能值有( )
A.7 个 B.8 个
C.9 个 D.10 个
答案 C
解析 由题知，f(x)为偶函数，f(0)=sinφ=±1，又 0<φ<π，所以
φ=
π
2，f(x)=sin
ωx+
π
2 =cosωx。令 t=ωx，f(x)=cost，则 y=cost 在
π
4
ω，
π
2
ω 上不单调。令 ω=1，y=cost 在
π
4，
π
2 是单调减函数，所以
ω≠1;令 ω=2，y=cost 在
π
2，π 是单调减函数，所以 ω≠2;令 ω
=3，y=cost 在
3
4
π，
3
2
π 不单调，所以 ω=3 符合题意;令 ω=4，y
=cost 在[π，2π]是单调增函数，所以 ω≠4;依次类推，可得当 ω=
5,6，7，…，12 时均符合题意，所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 时，f(x)
在
π
4，
π
2 上不单调，所以 ω 的可能值有 9 个。
二、填空题
8
13.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的 x 都有 f
π
6+x =f
π
6-x ，
则 f
π
6 =________。
答案 ±2
解析 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的 x 都有 f
π
6+x =f
π
6-x ，
则其对称轴为 x=
π
6，所以 f
π
6 =±2。
14.函数 y=sin2x 与函数 y=tanωx 有相同的零点，则 y=tanωx
的单调递增区间为____________________。
答案
-
π
4+
kπ
2 ，
π
4+
kπ
2
(k∈Z)
解析 根据题意可知，y=tanωx 的周期为 y=sin2x 的周期的一
半，即 T=
1
2×
2π
2 =
π
2，∴ω=
π
T=2，∴y=tan2x。令-π
2+kπ<2x<
π
2+kπ(k
∈Z)，得 y=tan2x 的单调递增区间为
-
π
4+
kπ
2 ，
π
4+
kπ
2
(k∈Z)。
15.函数 y=2sin
πx
6 -
π
3
(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为
________。
答案 2+ 3
解析 因为 0≤x≤9，所以-π
3≤
πx
6 -
π
3≤
7π
6 ，因此当
πx
6 -
π
3=
π
2时，
函数 y=2sin
πx
6 -
π
3 取得最大值，即 ymax=2×1=2。当πx
6 -
π
3=-
π
3时，
函数 y=2sin
πx
6 -
π
3 取得最小值，即 ymin=2sin
-
π
3 =- 3，因此 y
=2sin
πx
6 -
π
3
(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3。
16.将函数 y=sinx+ 3cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度，
9
再向上平移 1 个单位长度后，所得图象经过点
π
4，1 ，则 φ 的最小值
为________。
答案 7π
12
解析 依题意，将 y=2sin
x+
π
3 的图象向右平移 φ 个单位长度得
到曲线 y=2sin
x-φ+
π
3 ，再向上平移 1 个单位长度得到曲线 y=
2sin
x-φ+
π
3 +1，又该曲线经过点
π
4，1 ，于是有 2sin
π
4-φ+
π
3 +1
=1，即 sin
7π
12-φ =0，φ-
7π
12=kπ，k∈Z，φ=kπ+
7π
12，k∈Z，因此
正数 φ 的最小值是7π
12。
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