内角转外角，解法特别巧

我们知道，n边形的内角和是（n-2）×180°，而外角和是360°．由此可见，多边形的内角和与边数n有关，而外角和却与边数n无关，是一个常数．因此，利用多边形内角与相邻的外角互补这一关系，将多边形内角问题转化为外角问题，可以起到以不变应万变之效果，其解法特别巧妙．请看：

例1　一个多边形的每个内角都等于144°，则它的边数是______．

分析与解：一般解法是：设边数为x，则由内角和公式，得（x-2）×180°=x×144°，解之，得x=10．这是直接从题意入手，通过设元，然后运用内角和公式列方程．其解法当然是无可非议的．但是，若从外角入手，则易知每个外角为180°-144°=36°，又因为外角和为360°，因此，共有360°÷36°=10（个）外角，从而可知所求的边数为10．

例2 凸n边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数n的最大值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

分析与解：若直接考虑内角'只有三个钝角'，则显然是无从下手的．从外角入手，因为n个内角中恰有3个钝角，所以在n个外角中恰好有3个锐角，其余（n-3）个外角是直角或钝角，由外角和等于360°可知这（n-3）个外角中最多只能有3个直角（或钝角），因此，n-3≤3，n≤6，所以n的最大值为6，选C．

例3　凸2019边形的内角中，非锐角的个数至少有______个．

分析与解：设凸2019边形的内角中，非锐角的个数有n个，则锐角的个数为（2019-n）个，与这（2019-n）个内角相邻的（2019-n）个外角都为钝角或直角，而（2019-n）个外角中最多有3个直角（或钝角），所以2019-n≤3，解得n≥2016，故n的最小值为2016，因此，凸2019边形的内角中，非锐角的个数至少有2016个．

例4　已知n边形的每个内角都是10°的整数倍，其中三个内角分别是60°、90°和120°，其余各内角的度数都相等，求n的所有可能值．

分析与解：由已知，三个外角分别为120°、90°和60°，所以余下的（n-3）个外角的和为360°-（120°+90°+60°）=90°．又因为这（n-3）个内角的度数是10°的整数倍，所以这些内角的外角也是10°的整数倍．设这些外角每个的度数为m·10°（ｍ为正整数），则（n-3）m·10°=90°，m=9/（n-3），

因为n是大于3的整数，所以n=4，6，9，12．此即n的所有可能值．

例5若凸n边形的每个内角都是30°的正整数倍，则n的最小值与最大值之和是＿＿＿＿．

分析：设一个内角为α，其外角为β，则β=180°-α，因为α是30°的整数倍，所以β也是30°的整数倍，所以外角β的最小值为30°，最大值为150°，故360/150≤n≤360/30，即2.4≤n≤12，因为n为整数，所以n的最小值为3，最大值为12，因此，n的最小值与最大值的和为15．

例6 定义：若凸n边形的n条边相等，n个内角相等，这样的n形叫做正n边形．若正n边形的内角度数是整数，这样的n有______个．

分析与解：因为内角是整数，所以外角也是整数，而每个外角的度数为360/n，所以360/n是整数，因此，问题在于确定360的正整数因数的个数．

由于360=2^3×3^2×5，所以，360的正因数个数共有（3+1）（2+1）（1+1）=24个（包括1），而n＞2，去掉1和2两个因数，故n的值共有22个．

评注：求一个正整数N所有约数个数（包括1）的方法是：将这个整数N分解成质因数的积a1^p1·a2^p2·…·ak^pk，则N的所有约数的个数为（p1+1）（p2+1）…（pk+1）.