“动”“静”结合，“数”“形”思维

——对一道解几题的探究

王春凤   江苏省苏州市张家港市沙洲中学  

“双动点”间的距离的最值问题，是解析几何中比较常见的一类“运动”问题，“动”“静”结合，常量与变量融合，有限与无限转化，让问题“动”起来，巧妙把平面几何、平面解析几何以及其他一些相关知识加以交汇与融合，立意新颖，综合性强，可以很好考查学生的数学基本知识、数学思想方法和数学能力等，倍受青睐．

1．问题呈现

此题以“一抛物线”与“抛物线内一圆”为问题背景，以两曲线的位置关系进行合理渗透，通过两曲线上的两“动点”的运动变化来巧妙设置，进而确定“两动点”间的距离的最小值问题．

破解时，可以利用平面解析几何中“数”的关系进行切入，借助函数思维，通过两点间距离公式的应用，结合函数的最值问题的求解来分析与处理；可以利用平面解析几何中“形”的特征进行切入，借助几何思维，通过两曲线的位置关系的确定，结合几何图形的最值问题的求解来分析与处理等．

2．问题破解

思维视角一：抓住“数”的关系——函数思维

方法1（配方法1）

点评：借助与已知圆同圆心的圆与抛物线相切，结合抛物线方程的变形以及求导处理，利用导数的几何意义确定切线的斜率，利用过圆心与切点的直线与切线垂直的几何性质，结合直线的斜率公式以及两直线垂直的关系建立关系式，结合点在抛物线上确定切线的值，进而确定此时与抛物线相切的圆的半径，利用两圆半径的差即为所求线段的最小值．结合平面几何图形，数形结合，从导数的视角来研究切线问题，综合平面几何知识来分析与处理．

3．变式拓展

探究1：改变抛物线与圆的位置关系，由“圆在抛物线内”变为“圆在抛物线外”，为方便运算对相应的系数加以修正处理，得到以下对应的变式问题．

4．教学启示

破解解析几何中的“双动点”问题，主要从以下“动”背景中“形”与“数”的不同视角来切入：

（1）从“动”视角切入以“形”来解决“双动点”问题

解决一些解析几何中的“双动点”问题，要按照“双动点”之间的主次关系，从“动”视角切入，把握“主动支配从动”和“从动跟随主动”，在“动”中找规律，在“动”中取“定”，从几何视角角度进行合理回归问题实质与本源，化“双动”为“单动”，化“动”为“静”，从而“动中取静”，结合平面几何的基本性质加以分析、转化、处理与应用．

（2）从“动”视角切入以“数”来解决“双动点”问题

解决一些解析几何中的“双动点”问题，按照“双动点”的变化规律引入合理参数，建立对应的函数、方程、不等式等相关关系，通过函数法、不等式法、导数法等来确定相应的最值问题，化“动”的几何图形问题为“数”的变化规律问题，以代数运算与逻辑推理来分析与处理．