避免轨迹方程增解和漏解的策略

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

摘 要：轨迹问题是解析几何的重要题型,是教学的难点，也是高考的热点.学生在解题时，常常出现“会而不对，对而不全”的现象，究其原因，不外乎两点：一是不了解产生增解和漏解的原因；二是缺乏避免产生增解和漏解的方法.

关键词：轨迹方程；增解；漏解；策略

避免轨迹方程产生增解和漏解的对策主要有：全面考查所有可能出现的情况；充分挖掘题中隐含的数量关系；注意化简、消参前后方程是否同解；仔细检验特殊点是否符合题意.下面以近年高考题为例.

一、全面考查所有可能出现的情况

在求轨迹方程时，有时由于某些参数的不确定性，或者图形形状、位置关系的不确定性，需要对其进行分类讨论，全面考查所有可能出现的情况.如果分类重复或遗漏，就有可能产生增解或漏解.

例1 (2013年上海卷)已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为点N.若

其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( ).

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

分析 建立平面直角坐标系，设出点M,A,B的坐标，通过已知条件求出点M的轨迹方程，再作出判断.

解析 以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，A(-a,0)，B(a,0)(a>0).

因为

所以y2=λ(x+a)(a-x)，即λx2+y2=λa2.

当λ=1时，方程表示圆；当λ>0且λ≠1时，方程表示椭圆；当λ<0时，方程表示双曲线；当λ=0时，方程表示直线.

综上，方程不表示抛物线.故选D.

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题、解决问题的能力以及计算能力，属于基础题.这里要对常数λ进行分类讨论，如有遗漏，就会导致解答错误.

例2 (2016年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.若ΔPQF的面积是ΔABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

分析 利用△PQF和△ABF面积之间的关系，求出点N的坐标，再利用点差法求AB中点的轨迹方程.

解析 如图1，抛物线C的焦点

准线

设A(x1,y1)， B(x2,y2)，则

设直线AB与x轴交点为N，则

因为S△PQF=2S△ABF，所以2|FN|=1.解得xN=1.

即N(1,0).

设AB中点为M(x,y)，由

得

当直线AB的斜率存在时，

又

所以

即y2=x-1,其中

当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，点M与N重合，即M(1,0)，它满足y2=x-1.

综上，AB中点的轨迹方程为y2=x-1.

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程的求法，解题关键是根据AB与MN斜率相等列出方程，属于中档题.这里要注意对AB的斜率是否存在进行讨论，如果忽视AB斜率不存在的情况，就有可能丢失符合条件的点M(1,0)，造成漏解.

二、充分挖掘题中隐含的数量关系

隐含条件是指题目中含而不露、不易察觉的条件.在解答轨迹问题时，忽视隐含条件将导致思路中断或解题错误，因此，解题时要认真读题，仔细分析，及时发现和利用题目中隐含的数量关系，提高解题的有效性和准确性.

例3 (2019年上海卷)以(a1，0)，(a2，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于(0,y1)，(0,y2)，且满足lny1+lny2=0，则点

的轨迹是( ).

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

分析 根据圆的性质,得

由lny1+lny2=0，得y1y2=1.消去y1,y2可得

进而求出点

的轨迹.

解析 记A(a1，0)，B(1,0)，C(0,y1).由|AB|=|AC|，得

化简，得

同理可得

由lny1+lny2=0，得y1y2=1，即(1-2a1)(1-2a2)=1，化简，得2a1a2=a1+a2.

依题意a1a2≠0，所以

记

则x+y=2.

由

得

且a1≠0.

当

时，x>2；当a1<0时，x<0.

所以x+y=2(x<0或x>2)，故所求的轨迹是两条射线(不含端点).

点评 本题考查轨迹的求法，考查圆的定义和性质，属于中档题.解题时，不仅要用足已知条件，还要充分挖掘题中隐含的条件，如1-2a1>0和a1≠0等，命题者忽略了这些隐含条件，致使本题设计不严谨.

三、注意化简、消参前后方程是否同解

在化简方程时，要注意化简前后未知数的取值范围是否一致，确保化简过程是同解变形；在把参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对动点横、纵坐标的制约作用，确保消参前后方程是等价变形.否则，就有可能产生增解或漏解.

例4 (2019年全国Ⅱ卷)已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为

记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线.

解析 依题意，得

①

化简，得x2+2y2=4，即

②

由x+2≠0且x-2≠0，得x≠-2且x≠2，即y≠0.

所以曲线C的方程是

曲线C是焦点在x轴上的椭圆(不含长轴的两个端点).

点评 本题考查用直接法求轨迹方程，属于基础题.解题时，如果不注意方程①中x的限制条件x+2≠0且x-2≠0，就会导致方程①和②不同解，曲线C的方程就会产生增解，M的轨迹就会混进不符合条件的点.

例5 (2014年全国卷)设椭圆

的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，F1∉l，求△F1AB重心的轨迹方程.

分析 设直线l的方程为x=ty+1(t∈R)，代入椭圆方程，消去x，得(t2+2)y2+2ty-1=0，利用韦达定理求出△F1AB的重心坐标，进而求出重心的轨迹方程.

解析 F1(-1,0)，F2(1,0).因为F1∉l，所以可设直线l的方程为x=ty+1(t∈R).

由

得(t2+2)y2+2ty-1=0.

故△=4t2+4(t2+2)>0恒成立.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，△F1AB的重心为G(x,y)，则

所以

所以

消去t，得9x2+18y2=1.

当t∈R时，

所以△F1AB重心的轨迹方程为

点评 本题考查三角形重心的轨迹方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角形重心坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.消参时，如果不注意参数t的取值范围对x,y的约束作用，就有可能产生增解，导致解题失误.

四、仔细检验特殊点是否符合题意

求轨迹方程时，既要考虑动点运动的一般情况，又要考虑动点运动的特殊情况，如动点在极限位置、临界位置等特殊位置时是否符合题意，忽视对这些特殊点的检验，也有可能产生增解或漏解.

例6 (2016年全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.

分析 求出圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程.

解析 如图2，圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，可得圆心A(-1,0)，半径r=4.

由BE∥AC，得∠C=∠EBD，由|AC|=|AD|，得∠C=∠D.

所以∠D=∠EBD.所以|EB|=|ED|.则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4>|AB|.

所以点E在以A，B为焦点的椭圆上.

由2a=4，得a=2.又c=1，所以

所以椭圆的方程为

又直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，所以点E不在x轴上.

故点E的轨迹方程为

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，属于基础题.解题时，如果忽视对隐含条件“直线l过点B(1,0)且与x轴不重合”的挖掘，忽略对椭圆长轴两个端点的检验，就会产生增解，导致解题错误.

例7 (2020年上海卷)已知椭圆

垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且|AB|=|CD|，则两直线交点P所在的曲线是( ).

A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.抛物线

分析 本题可以用参数法求出动点P的轨迹方程，也可以通过考查特殊点作出判断.

解析 如图3，设|AB|=|CD|=2t(0<t≤1)，P(x,y)，则A(x,t)，D(t,y).因为A，D在椭圆上，所以

消去t，得

因为0<t≤1，所以|x|

且

所以点P的轨迹方程是

其中

且

即点P的轨迹是双曲线的一部分.

实际上，由于0<|AB|=|CD|≤2，当|AB|=|CD|=2时，两直线交点为M，N，当|AB|=|CD|趋近于0时，两直线交点趋近于E，F，G，H，如图4，对照题目中的四个选项，可以断定点P的轨迹是双曲线落在矩形EFGH内部的两段曲线(不含点E，F，G，H).

点评 本题考查轨迹方程的求法与判断，属于中档题.通过考查特殊点，避免了轨迹方程增解的产生，快速准确地得到问题的答案.

可见，在解答轨迹问题时，不仅要熟练掌握求轨迹的常用方法，如直接法、定义法(也叫待定系数法)、相关点法(也叫代入法)、交轨法和参数法等，而且还要了解解题过程中产生增解和漏解的原因，掌握避免产生增解和漏解的策略，以达到“会必对，对必全”.

参考文献：

[1]曾秀雷.紧扣定义，准确求出动点的轨迹方程[J].中学数学，2020(11):38-39.

[2]陈武钊.突破求轨迹方程教学的难点 [J].中学数学研究，2018(20)：32-33+27.