如图,分别以□ABCD的对边AB、CD为边在形外作等边△ABE、等边△CDF.连结CE交AB于点G,连结AF交CD于点H.试探索图形中除□ABCD外,是否有其他的平行四边形,并给予证明.
【答案解析】四边形AECF和四边形AGCH是平行四边形。方法1 □ABCD中,AB=CD.因为△ABE和△CDF都是等边三角形,所以AE=CF,EB=DF,又因为BC=AD,∠ABC=∠ADC,∠ABE=∠CDF=60°,所以∠CBE=∠ADF,所以△CBE≌△ADF,得CE=AF,已证AE=CF,所以四边形AECF是平行四边形.方法2 设∠BAH=α,则∠EAF=60°+α.因为□ABCD中AB∥DC,所以∠CHF=α.在△CHF中∠CFH=180°﹣60°﹣α=120°﹣α,所以∠EAF+∠CFA=180°,则EA∥CF.因为EA=CF,所以四边形AECF是平行四边形.方法3 设□ABCD的对称中心为点O(对角线AC、BD交点),则将□ABCD绕点O旋转180°以后,AB与CD重合.因为△ABE和△CDF是同在平行四边形外全等的等边三角形,旋转后也相互重合,则对称点E、F连线经过点O,且OE=OF.因为OA=OC,所以四边形AECF是平行四边形.因为(1)中已证□AECF可知AH∥GC,且已知□ABCD中AG∥HC,所以四边形AGCH是平行四边形.典型题2:难度★★★★
如图(a),△ABC中AB=AC=13cm,BC=10cm.M、N分别是AB、AC的中点。(1)若C1是BC的中点,连结MC1、NB.求图中阴影部分的面积。(2)将线段BC1沿BC向右移动到B1C1位置,如图(b).连结MC1、NB1.图中阴影部分的面积还与(1)中相同吗?请说明理由.【答案解析】
(1)连结AC1,易知它是等腰三角形底边上的高,由勾股定理可得AC1=12cm,从而cm2.连结MN、NC1,设MC1、NB交于点O.由三角形中位线定理及平行四边形的判定可知四边形MNC1B是平行四边形,所以.因为N是AC中点,所以,进而阴影部分面积cm2.
(2)线段BC1平移后阴影部分的面积仍为30cm2.方法1 连结MN、NC1、MB1、NB,设MC1、NB1交点为O,则仍有四边形MNC1B1是平行四边形,.这时△B1MN、△BMN是同底等高三角形,所以.所以结论还与(1)中相同。
方法2 易见不论线段B1C1平移到何处,图中平行四边形MNC1B1的面积不变。而平行四边形中的阴影部分面积()等于平行四边形面积的一半,所以总的阴影部分的面积不会改变.
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