谈到高考，作为一名读过两次高三的复读生，我想，我的体悟可能要比“一鼓作气”考上重点大学的人更加深刻一些。
高三前，我一直成绩平平。主要原因是数学成绩不理想。150分的卷子很少能及格，通常都徘徊在八十几分。虽然语文、英语以及文科综合成绩都还不错，但是由于偏科，以那样的整体成绩是很难考上重点大学的。
数学是我一直想要克服的难关，却始终不得其法。升入高三前，数学老师专门找我谈了一次话，鼓励我积极学习，不要有畏难情绪。到现在我都还记得她对我说的那些话，她说：“你其他科目成绩那么优秀，千万别让数学拉了后腿，以后会后悔的。”高二之前的数学老师都不太重视我，并没有人发现我其他科目成绩很好，更没有人如此鼓励过我，这让我深受触动。
升入高三后，我格外注重数学，在不耽误其他科目学习的情况下，将更多的时间分配给数学。开始时，我大量做练习题，但成绩却没有明显提高，这让我十分苦恼、焦虑。某次向老师请教问题的时候，我表达了自己的困惑。老师告诉我，每个人擅长的事情不一样。你别的科目能学好，证明你学习能力没有问题，不要因为数学灰心。“那为什么我做了很多题，成绩却不见提高呢?”她说：“你的基础较薄弱，不如试试将基础题型都做好，提高每一道基础题的正确率，后面的难题尽力而为就好。”
经过仔细的考虑和思索，我认为老师的方法很有道理。高三下半学期我开始调整策略。老师上课讲过的每一道题我都反复练习，做错的题也都全部写在错题本上改正过来。考试时，我尽量放平心态，克服紧张焦虑的情绪，放慢做题速度，尽力做到答上的每一道题都是正确的。在这种策略的指导下，我的成绩逐渐有了提高。后三次的模拟考试，我每次都能排进班级前三名。虽然数学成绩并没有特别大的突破，但是每次达到及格还是没有问题的，这让我对高考信心十足。
但是高考成绩出来后，结果却让我难以接受。之前的每次模拟考试我都在一本线上，而我高考成绩却在一本线下30分。经过认真思考，我和父母商量说想要复读，父母跟我分析了利弊后，表示尊重我的选择，他们对我有信心。就这样我又回到了原来的高中，进入复读班继续学习。
复读的生活很辛苦，特别是9月初，看着原来的高中同学都背起行囊远赴他乡步入大学校园，我心里既羡慕又失落。不过我很快就调整好了情绪，开始了新一轮的复习。复读的一年里，我的复习重点还是放在数学上，像英语、语文这样的优势科目，我只在课堂上跟着老师的节奏，没有再投入过多的精力。我相信，正确的备考策略才是打赢高考这场硬仗的关键。
复读的一年，我收获了很多的朋友。大家境遇相似，经常互相鼓励，生活也并没有像原来想象的那般枯燥。第二年高考，我的数学成绩提高了将近30分。102分的成绩虽然没有特别出类拔萃，但还是让我成功地超过了一本线20分，让我有机会进入北京体育大学体育新闻学专业学习。
进入大学后，我对自己选择的学校和专业十分满意。经过时间的检验，我感谢当年帮助过我的老师、同学，也感谢那个一直努力坚持的自己!
寒假小班数学授课资料之一（函数部分主要解题思想）
以下是来自潍坊的我们的专职数学教师，提供的高一寒假小班即将使用的补习资料的一部分。该位教师是历年潍坊教研室高考模拟试题的命题者之一。22年教龄，高三数学备课组长，擅长高难度模拟试题的现场解答以及思路点拨能力。自去年寒假以来辅导实验学生近50人，满意率百分之百。注重培养学生的数学解题思想。
这位教师根据历年高考试题编写的学习资料（附有详细解题思路）已上传至“名师在线群”385121637，群文件也有潍坊另外两位高水平教师编写的高考资料。以上三科资料详细列出历年常考主要知识点并附有详细解题思路点拨，有较大参考价值。
第一部分（高一数学）基础知识提要
一、函数的单调性
1．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
2、单调性的定义：
（1）当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
从图象上看，如图，随着自变量的增大，图象呈上升趋势。
（2）当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
从图象上看，如图，随着自变量的增大，图象呈下降趋势。
3、利用函数的单调性解不等式
函数f(x)在区间D上是增函数，则x1＜x2f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在区间D上是减函数，则x1＜x2f(x1)＞f(x2)，
应用举例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<>
思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)f(N)的形式．
规范解答:
(1)证明 设x1，x2∈R，且x1x2，∴x2－x1>0，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)f(x2)，
∴f(x)在R上为增函数．[6分]
(2)解 ∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分]
f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<>＝f(1)，[10分]
∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<>?－3a<>，
即a∈(－3,2)．[12分]
答题模板
解函数不等式问题的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；
第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
二．函数的奇偶性
1.奇(偶)函数的定义
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
偶函数 | 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 | 关于y轴对称 |
奇函数 | 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 | 关于原点对称 |
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
（4）两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．
（5）规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
（6）奇偶函数中对称性的应用：原点两侧中，只要知道一侧，另一侧也可求。
注意：掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
三．函数作图
1.函数作图主要有两种方法：一是利用描点法，二是运用函数变换作图
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
⑤y＝f(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.
⑥y＝f(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.
②y＝f(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)．
②y＝f(x)a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0<><>y＝af(x)．
四．函数的周期性与对称性
1、对称性：函数关于原点对称即奇函数：
函数关于对称即偶函数：
函数关于直线 对称：或或 者
函数关于点对称：
的图象关于点对称
的图象关于点对称
的图象关于点对称
2、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
（1）函数与图象关于Y轴对称
（2）函数与图象关于原点对称函数
（3）函数与图象关于X轴对称
（4）互为反函数与函数图象关于直线对称
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
(2)求函数周期的方法
4、函数单调性奇偶性对称性周期性的联合运用
对于要研究的函数 ：
看定义域→奇偶性→对称性→周期性→试画图象→转化解题
【思维升华】(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
【函数性质综合应用举例】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－，可得f＝－f，而函数f(x)为偶函数，所以f＝－f＝－f，解得f＝0，故f＝0.根据函数f(x)在[－1,0]上为增函数及f＝0，作出函数f(x)在[－1,0]上的图象，
然后根据f(x)为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .
由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．
答案 ①②⑤
五．函数的零点
1、函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2、函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3、零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．处理函数零点的两种转化方法
(1)．（直接转化）函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)．（间接转化）研究函数G(x)＝f(x)－g(x)的零点，即研究方程f(x)—g(x)=0的解，即方程f (x)＝g(x)的解，如果令y= f (x)、y＝g(x)，那么进一步转化为研究两个函数y= f (x)、y＝g(x)图象的交点个数问题．
反过来，研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
(3)．【数学思想解】：①零点存在性定理；②数形结合；③解方程f(x)＝0.④(3)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
五．对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 a>0，b>0
对勾函数在定义域内是奇函数，
常用的对勾函数为（，图象及拐点坐标如图
注：或，通过分离常数，都可划归为此类函数。
第二部分（高一数学）能力提高训练题组
一、函数性质
1．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图像如下图（左）， 则F(x)＝f(x)·g(x)的图像可能是下图中的()
2．已知，且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是
3.已知函数，且，则使成立的的取值范围是
4．已知函数和均为奇函数,在区间上有最大值5,那么在上的最小值为
A.-5 B.-9 C.-7 D.-1
5．已知函数与函数的图象关于直线对称,函数的图象与的图象关于轴对称,若,则实数的值为
A. B. C. D.
6．已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且则的值为（ ）
A. B. C. D.
7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 （ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域为且，且是偶函数，当时，，那么当时，函数的递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数满足，且时，，则当时，函数的零点个数为
10．设为常数且,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切都成立,则的取值范围为_____________________.
11．已知奇函数在区间上是单调递增函数,且在区间上的最大值为8,最小值为,则
12．设全集集合则___________.
13、已知定义在R上的函数 满足以下三个条件:①对任意的∈R，都有=；
②函数的图象关于y轴对称；③对于任意的、∈[0,1]，且，都有.则、、从小到大排列是 .
14、定义在（-1,1）上的函数满足:①对任意的、∈（-1,1），都有+=； ②在（-1,1）上是单调减函数，=-1.
（1） 求的值；
（2）求证:为奇函数；
（3）解不等式 .
15．设函数满足:
①对任意实数都有;
②对任意,都有恒成立;
③不恒为0,且当时,.
(1)求,的值;
(2)判断函数的奇偶性,并给出你的证明;
(3)定义: “若存在非零常数T,使得对函数定义域中的任意一个,均有,则称为以T为周期的周期函数”.试证明:函数为周期函数,并求出的值.
第二部分 初等函数综合应用
1、当a＞0且a≠1时，函数f(x)= ax－2－3必过定点 ．
2、若（x，y）在映射f：A→B下对应的值是（x＋y，x－y），则（－1，3）在映射f：A→B对应下的值为 ．
3、设将三个数从小到大依次排列： ．
4、已知定义在实数集R上的偶函数在区间中单调增函数，若，则的取值范围是__________________．
| |
5、如图，A、B、C为函数图象上的三点，它们的横坐标分别是t、 t+2、 t+4(t1)．
(1)设ABC的面积为S，求S=f (t)；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3)求S=f (t)的最大值．
．
6. 已知函数()是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；
（3）若函数，，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由
第三部分 重要数学思想
一、换元与数形结合
17.已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根
③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根
其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
二、转化为二次函数
1.已知函数（）是偶函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
2. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
三、①恒成立与有解的问题；②构造函数解题
1、 已知奇函数=的图象经过点A（1，1），B（2，—1）.
（1）求函数的解析式；
（2）求证：函数在（0，+∞）上为减函数；
（3）若对任意∈[—2，－1]∪[1，2]恒成立，求实数的取值范围。
2（12’）已知定义域为的函数是奇函数.
（4）求函数的解析式；
（5）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（6）若对于任意都有成立，求实数的取值范围.
3、（本小题满分12分）
已知是偶函数，是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的单调性（不要求证明）；
（Ⅲ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
4．（本小题满分12分）
已知函数对一切R都有，且当时，．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)证明在R上是减函数；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
5.（本小题满分12分）已知函数。
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用定义证明为上的增函数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围。
6．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：；
（3）若函数在上单调递减，比较 与的大小关系，并说明理由．
7．已知函数的最小值为，．记函数．
（1）求的值；
（2） 若不等式对任意都成立，求实数的取值范围；
（3） 若关于的方程有六个不相等的实数根，求实数的取值范围．
第四部分 二次函数与分段函数
一、二次函数
1、已知方程的两个不相等实根为．集合，
{2，4，5，6}，{1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝，求的值．
2.设函数
⑴证明： a ＞ 0且b ＜0；
⑵证明：函数 f (x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
⑶设是函数 f (x)的两个零点，证明：
3．（本小题满分14分）
已知函数在R上奇函数．
（1）求；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．
二、分段函数综合应用
1.设,则＝（ ）
A． B． C．5 D．
10. 函数的所有零点之和为（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 与实数有关
2．已知函数有两个零点，则有（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）=，若关于x的函数g（x）=f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是 ．
4．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D。
5．已知函数对于任意，成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D。
6. 已知定义域为上的函数，函数（其中为常数）有5个不同的零点，下列命题不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数，若存在实数、、、，满足 ，其中，则的取值范围是 .
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