高中数学一对一补习强化函数的图象练习

函数是高一新生数学学习的入门课。可是很多学生学了三年，发现函数是啥都不清楚，这就是很尴尬的一件事情了。那就说明其根本没有学懂数学。不知道数学是在干啥，那么其最后的成绩也是可想而知了！

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)；

②y＝f(x)y＝f(－x)；

③y＝f(x)y＝－f(－x)；

④y＝a^x(a＞0且a≠1)y＝log_ax(x＞0)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|．

②y＝f(x)保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝f(x)

→

y＝f(ax)．

②y＝f(x)

→

y＝af(x)．

要点整合

1．辨明三个易误点

(1)图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

(2)图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．

(3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．

2．会用两种数学思想

(1)数形结合思想

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．

(2)分类讨论思想

画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．

                   练习测试

1．函数y＝|x－1|，则图象关于________对称(　　)

A．(1，0)　　　　　　　　 B．(－1，0)

C．直线x＝1             D．直线x＝－1

　C　[解析]y＝|x－1|＝其图象如图所示．故选C.

2．已知函数f(x)＝则f(x)的图象为(　　)

　A　[解析]由题意知函数f(x)在R上是增函数，当x＝1时，f(x)＝1，当x＝0时，f(x)＝0，故选A.

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e^x关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．e^x＋1　　　　　　　　　  B．e^x－1

C．e^－x＋1                     D．e^－x－1

　D　[解析]曲线y＝e^x关于y轴对称的曲线为y＝e^－x，将y＝e^－x向左平移1个单位长度得到y＝e^－(x＋1)，即f(x)＝e^－x－1.

4．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax³－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．

[解析]因为f(x)＝ax³－2x的图象过点(－1，4)，

所以4＝a×(－1)³－2×(－1)，解得a＝－2.

[答案]－2

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

[解析]由题意a＝|x|＋x，

令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．

[答案](0，＋∞)

　

作函数的图象

　分别作出下列函数的图象．

(1)y＝2^x＋2；

(2)y＝|lgx|；

(3)y＝.

【解】　(1)将y＝2^x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．

(2)y＝图象如图所示．

(3)因为y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图．

 

 将本例(3)的函数变为“y＝”，函数的图象如何？

[解]y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．

　

　分别作出下列函数的图象．

(1)y＝|x－2|(x＋1)；

(2)y＝；

(3)y＝log₂|x－1|.

[解](1)当x≥2，即x－2≥0时，

y＝(x－2)(x＋1)＝x²－x－2

＝－；

当x<2，即x－2<0时，

y＝－(x－2)(x＋1)＝－x²＋x＋2

＝－＋.

所以y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．

(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．

(3)作y＝log₂|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log₂|x－1|的图象．

 

　识图与辨图[学生用书P37]

[典例引领]

　(1)(2017·广西第一次质量检测)函数y＝(x³－x)2^|x|的图象大致是(　　)

(2)(2015·高考安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c<0

D．a<0，b<0，c<0

【解析】　(1)易判断函数为奇函数．由y＝0得x＝±1或x＝0且当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，故选B.

(2)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，所以c<0.

令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，所以b>0.

令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，所以a<0.

故选C.

【答案】　(1)B　(2)C

识辨函数图象的入手点

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．　

[通关练习])

1．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图象为(　　)

　C　[解析]法一：由题意得y＝＝，x∈(0，2)不是一次函数，排除A、B.当x→0时，y→2，故选C.

法二：由法一知y＝在(0，1]上是减函数，在[1，2)上是增函数，且非一次函数，故选C.

2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，现将y＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线，如图，则函数y＝f(x)的表达式为________．

[解析]设经过两次平移后所得图象对应的函数为h(x)，则

h(x)＝

所以g(x)＝

所以f(x)＝

[答案]f(x)＝

　函数图象的应用(高频考点)[学生用书P38]

函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现．

高考对函数图象应用问题的考查主要有以下四个命题角度：

(1)利用函数图象研究函数性质；

(2)利用函数图象研究不等式的解；

(3)利用函数图象求参数的取值范围；

(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．

[典例引领]

　(1)

(2015·高考北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log₂(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0}

B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}

D．{x|－1＜x≤2}

(2)函数y＝log₂|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．

【解析】　(1)令g(x)＝y＝log₂(x＋1)，知g(x)的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g(x)的图象如图．

由得

所以结合图象知不等式f(x)≥log₂(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．

(2)作出函数y＝log₂x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log₂|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log₂|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log₂|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．

【答案】　(1)C　(2)(－∞，－1)　(－1，＋∞)

求解策略

函数图象应用的求解策略

(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

(2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．　

[题点通关]

 角度一　利用函数图象研究函数性质

1．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是(　　)

A．(－∞，1]　　　　　　　     B.

C.                      D．[1，2)

　D　[解析]用图象法解决，将y＝lgx的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象．由图象，在选项中的区间上f(x)是增函数的显然只有D.

 角度二　利用函数图象研究不等式的解

2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－1，0)∪(1，＋∞)      B．(－∞，－1)∪(0，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)      D．(－1，0)∪(0，1)

　D　[解析]因为

f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．

 角度三　利用函数图象求参数的取值范围

3．函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围是________．

[解析]当x≤0时，f(x)＝2^－x－1，

当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2^－(x－1)－1.当1<x≤2时，－1<x－2≤0，

f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝2^－(x－2)－1.

故x>0时，f(x)是周期函数，如图，

欲使方程f(x)＝x＋a有两解，即函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，则a的取值范围是(－∞，1)．

[答案](－∞，1)

 [学生用书P267(独立成册)]

1．函数y＝x²－2|x|的图象是(　　)

　B　[解析]由y＝x²－2|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C.当x≥0时，y＝x²－2x＝(x－1)²－1.即当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，排除A、D，故选B.

2.

 

若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－　　　　　　　　　  B．－

C．－1                       D．－2

　C　[解析]由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.

3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

　C　[解析]将

函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．

4．(2017·滨州二模)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是(　　)

　A　[解析]函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，又当x→π时，y＝→0，故选A.

5．已知y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴是(　　)

A．x＝1                     B．x＝－1

C．x＝－                  D．x＝

　D　[解析]因为函数y＝f(2x＋1)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，而函数y＝f(2x)的图象是将函数y＝f(2x＋1)的图象向右平移个单位，所以对称轴也向右平移个单位，所以函数y＝f(2x)的图象的对称轴为x＝.

6．(2017·贵阳一模)已知f(x)＝a^x－2，g(x)＝log_a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是(　　)

　B　[解析]因为f(x)＝a^x－2>0恒成立，又f(4)g(－4)<0，所以g(－4)＝log_a|－4|＝log_a4<0＝log_a1，所以0<a<1.故函数y＝f(x)在R上单调递减，且过点(2，1)，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确．

7.

如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．

[解析]由图象知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.

[答案]2

8．若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________．

[解析]函数f(x)＝＝a＋，当a＝2时，

f(x)＝2(x≠1)，函数f(x)的图象不关于点(1，1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，所以a＝1.

[答案]1

9．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e^x关于y轴对称，则不等式f(－|x|)＞1的解集为________．

[解析]与曲线y＝e^x关于y轴对称的曲线为y＝e^－x，函数y＝e^－x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图象，

即f(x)＝e^－(x＋1)＝e^－x－1.

所以f(－|x|)＝e^|x|－1＞1.

即|x|＞1，则有x＜－1或x＞1.

[答案]{x|x＜－1或x＞1}

10．(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．

[解析]当x≤0时，0<2^x≤1，画出f(x)的图象，由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，此时0<a≤1.

[答案](0，1]

11．已知函数f(x)＝.

(1)画出f(x)的草图；

(2)指出f(x)的单调区间．

[解](1)

f(x)＝＝1－，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．

(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调增区间：

(－∞，－1)，(－1，＋∞)．

12．已知函数f(x)＝

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．

[解](1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，

函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]．

(3)由图象知当x＝2时，f(x)_min＝f(2)＝－1，

当x＝0时，f(x)_max＝f(0)＝3.

能力提升

13．已知函数f(x)＝则对任意x₁，x₂∈R，若0<|x₁|<|x₂|，下列不等式成立的是(　　)

A．f(x₁)＋f(x₂)<0        B．f(x₁)＋f(x₂)>0

C．f(x₁)－f(x₂)>0         D．f(x₁)－f(x₂)<0

　D　[解析]函数f(x)的图象如图所示：

且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．

又0<|x₁|<|x₂|，

所以f(x₂)>f(x₁)，

即f(x₁)－f(x₂)<0.

14．(2017·深圳质检)设函数y＝，关于该函数图象的命题如下：

①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；

②任意两点的连线都不平行于y轴；

③关于直线y＝x对称；

④关于原点中心对称．

其中正确的是________．

[解析]y＝＝＝2＋，图象如图所示．可知②③正确．

[答案]②③

15．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

[解](1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，

即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，

g′(x)＝1－.

因为g(x)在(0，2]上为减函数，所以1－≤0在(0，2]上恒成立，

即a＋1≥x²在(0，2]上恒成立，

所以a＋1≥4，即a≥3，

故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

16．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；

(2)若函数f(x)＝log₂|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．

[解](1)证明：设P(x₀，y₀)是y＝f(x)图象上任意一点，

则y₀＝f(x₀)．

设P点关于x＝m的对称点为P′，

则P′的坐标为(2m－x₀，y₀)．

由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得

f(2m－x₀)＝f[m＋(m－x₀)]

＝f[m－(m－x₀)]＝f(x₀)＝y₀.

即P′(2m－x₀，y₀)在y＝f(x)的图象上．

所以y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．

(2)对定义域内的任意x，

有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．

所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，

即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．

又因为a≠0，

所以2a－1＝0，得a＝.