均值不等式应用误区例析

例1. 求函数

的最值。

错解：

∴

故y有最大值

错因：均值不等式应用的条件不具备。均值不等式

成立的前提条件是

，如果

时，

。在运用均值不等式时，首先要观察其条件是否允许直接使用，否则，就需要分情况讨论。

正解：当x>0时，

故

当x<>

故

例2. 求

的最小值。

错解：

错因：均值不等式应用时另一边不是定值。在运用均值不等式时，不等式的另一边必须为定值，而题中所得

并非定值。在解题过程中，合理的“拆、拼、凑”是常用的解题技巧。

正解：

当且仅当

即

时，取得最小值

例3. 

的最小值为_________________。

错解：

错因：上述解法忽略了均值不等式等号成立的条件，当

，即sinx=2时才取得等号，而事实上sinx=2是不成立的。

正解：

（当且仅当sinx=1，即

时，取得等号）

（当且仅当sinx=1，即

时，取得等号）

∴

故函数的最小值为

启示：①均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，或“积式”转化为“和式”的功能；

②创设应用均值不等式的条件、合理拆分或拼凑因式是常用的解题技巧；

③“和定，积最大；积定，和最小”应用此结论求值应注意“一正、二定、三相等”。

例4. 已知x，

，且x+y=5，若lgx+lgy

恒成立，则k的最小值是___________。

解析：因为x，

所以

（当且仅当x=y时取得等号）

点评：通过不等式产生最值，使恒成立问题获解，此法是求解恒成立问题的一种重要的方法。