理解黎曼猜想（1）：背景

作者  袁岚峰
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作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事。

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                                理解黎曼猜想（1）：背景 

​    （收藏本文有删减）
​        2018年9月，一位德高望重的前辈数学家宣称自己证明了黎曼猜想（Riemann hypothesis），引起了科学界的大轰动和媒体的密集关注。这位数学家叫做阿蒂亚（Michael Francis Atiyah）。

黎曼猜想是什么？首先需要明白黎曼猜想的背景。背景是什么？简言之，是质数（prime number）的分布。

质数也叫素数，就是那些只能被1和它本身整除的自然数。否则就叫做合数（composite number）。因此，我们可以说自然数是由1这个数和质数（素数）、合数共同组成的。

我们知道，第n个偶数是2n，第n个奇数是2n – 1，第n个平方数是n²。但是我们不清楚第n个质数是什么？也就是质数没有清晰的分布规律。即我们没有一个有用的质数通项公式。

第n个质数是什么？假如我们对质数有了一个通项公式，那么就可以带来许多惊人的结果。比如哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）——大于2的偶数可以表示成两个质数之和。中国数学家陈景润对哥德巴赫猜想有巨大贡献（他证明了1+2），但仍然没有彻底解决这个问题。假如有质数的通项公式，也许只需要做一些简单的代数计算，就能将任一偶数分解为两个质数之和（只是可能）。

再比如，相差2的一对质数叫做孪生质数，是否存在着无限多对孪生质数被称为孪生质数猜想（twin prime conjecture），也是一个迄今没有解决的数学难题。中国数学家张益唐对孪生质数猜想有巨大贡献，但同样没有彻底解决这个问题。假如有了质数的通项公式，也许要解决孪生质数猜想就有希望了。

数论中还有许多经典难题都是有关质数分布的问题，因此数学家们都期望有一个关于质数的通项公式。黎曼猜想就是通向这个目标的重要一步。

欧拉

研究质数分布的基本工具，是瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）提出来的，叫做欧拉乘积公式：

1+ 1/2^s + 1/3^s +…+ 1/n^s+…= [1/(1- 1/2^s)] × [1/(1- 1/3^s)]× [1/(1- 1/5^s)] ×…× [1/(1- 1/p^s)]×…

公式左边的n是自然数序列，即n=1，2，3，…；右边的p指所有质数序列，即p₁=2，p₂=3，p_k是序列中第k个质数；s是一个变量。可以证明，对于任何一个大于1的实数s，欧拉乘积公式都成立。

如果用Σ表示求和，用Π表示连乘，并采用负指数表示分数。于是欧拉乘积公式可以简写成：

Σ_nn^-s = Π_p (1- p^-s)^-1.

为了简化表达，把n^-s记作f(n)。于是Σ_n f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + …+ f(n) +…，并令Σ_n f(n) = A。同理，令Π_p[1- f(p)]^-1 = B。这样一来就是要证明A = B。

注意，对于任意两个自然数m和n，f(m)跟f(n)的乘积就等于f(mn)，因为按照指数运算法则，有

f(m) f(n) = m^-s n^-s = (mn)^-s =f(mn).

利用这个性质，我们用f(2)乘以Σ_n f(n)。当f(2)乘以第一项f(1)得到f(2)，乘以第二项f(2)得到f(4)，…，乘以第n项f(n)就是f(2n)，于是得到下式：

f(2)A = f(2) + f(4) + f(6) +…+ f(2n) +…= Σ_n f(2n).

这是一个序列之和，出现了所有的2n，也就是所有的以2作为质因数的合数。下一步再从A当中减去f(2)A，得到：

A[1 - f(2)] = f(1) + f(3) + f(5) + f(7) + …+ f(2n -1) +….

这个结果就是在所有的f(n)之和中，去掉了那些包含质因数2的合数的项。

我们再用A [1 - f(2)]乘以[1 - f(3)]，同样的道理，就是再去掉所有那些包含质因数3的合数的项。这时

A[1 - f(2)] [1 - f(3)] = f(1) + f(5) + f(7) + f(11) +…，

以上两个步骤，其中乘以[1 - f(2)]的过程是相对于质数2的合数被全部消去了，而乘以[1 - f(3)]则是相对于质数3的合数被全部消去。前者虽然消去了既包含2又包含3作为质因数的合数，但必须通过后者的过程才能消去全部所有的包含质因数3的合数。

显然，上述操作可以按照质数一步一步的进行下去。比如对A [1 - f(2)] [1 - f(3)]再乘以[1 - f(5)]，就是再去掉所有那些包含质因数5的合数的项。

对于越来越大的质数p，同样把[1 - f(p)]乘到左边。那么右边剩下的项就越来越少。这个操作是无限多次，相对于某个质数p而言，总可以把包含质因数p的合数项都消掉。

那么最后的结果就是只能剩下一项，就是f(1)！

为什么呢？因为任何一个大于1的自然数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积（对合数分解质因数的结果是唯一的称做算术基本定理（fundamental theorem of arithmetic））。

现在的问题是f(1)等于多少？按照定义，f(n) = n^-s，而1的任意指数的乘方都等于1，所以无论s取什么值，都有f(1)=1。于是我们得到了一个惊人的结果：

AΠ_p [1- f(p)] = f(1) = 1.

把等式两边同除以Π_p [1- f(p)]，就变成了A=Π_p [1- f(p)]^-1。这个表达式正是我们前面简写的B，也就是欧拉乘积公式：

Σ_nn^-s = Π_p (1- p^-s)^-1。

欧拉乘积公式的重要性在于，对于全体质数的某种运算可以转移为对于全体自然数的某种运算，并通过研究左边那个对于自然数的求和Σ_n n^-s，我们就有可能对质数获得深刻的认识。由于这个求和非常重要，所以它获得了一个专门的名称：黎曼ζ函数（ζ是一个希腊字母，发音zeta）。这个函数本来是欧拉提出来的，后来因为黎曼所做的工作，它就被叫做黎曼ζ函数了。