我的第一篇公众号的题目是：在股市这个大赌场里，你想做赌徒还是赌场老板？
在这篇文章里，我提到了负和游戏和正和游戏：
赌徒参与的是“负和游戏”，长期参与最终的结局一定是亏损的。
而赌场老板参与的是“正和游戏”，长期参与最终一定是盈利的。
从直觉上讲，这个结论好像挺有道理。但这个结论的理论依据是什么呢？
那就是概率论中的“大数定律”。今天就聊一聊“大数定律”这个话题。
1. 从一个赌博例子说起
有一个不均匀的硬币，每次扔这个硬币时，有51%的可能性是正面朝上，49%的可能性是反面朝上。
有一个不知道硬币缺陷的人愿意和你打赌玩猜硬币的游戏，猜对的把筹码全赢走，猜错的输掉筹码。这时你的地位就相当于赌场老板，因为这个游戏获胜的概率对你是有利的。
如果你手里有1000元钱，你愿意选择下面哪种方式来参加这个赌局呢？
方案A：1000元一次性全部押正面。
方案B：每次用1元押正面，一共参与1000次。
1）计算期望收益
对于这样的随机事件来说，首先要算一下期望收益是多少。
E(A)=0.51*1000+0.49*(-1000)=20
E(B)=E(B1)+E(B2)+...+E(B1000)
=0.02+0.02+...+0.02
=20
可以看出，两种方案的期望收益都是一样的。
2）计算标准差
我们知道，在投资中不能只看收益，还要看风险。在金融学中风险是指不确定性，一般用标准差来衡量（基础知识可以参考做好资产配置（2）——做多元投资，吃免费午餐）。我们来算一下两种方案各自的标准差是多少。
首先计算方差:
D(A)=E(A^2)-[E(A)]^2=10^6-400=999600
D(B)=D(B1)+D(B2)+...+D(B1000)=1000*D(B1)=999.6
可以看出，两种方案的方差刚好差了1000倍。
各自的标准差是：
Std(A)=999.8
Std(B)=31.6
可以看出，方案B的标准差远远小于方案A。
如果计算夏普比率的话：
Sharp(A)=E(A)/Std(A)=0.02
Sharp(B)=E(B)/Std(B)=0.63
可以看出，方案B在获得了同样期望收益的情况下，承担了更小风险，从而有着更大的夏普比率。因此方案B是优于方案A的。
从这个例子可以看出，对于期望收益为正的游戏，我们持续的、大量的参与，就能获得更低的风险。
2. 赌本扩展到10万元的游戏
如果手里面不是有1000元钱，而是有10万元钱。还是以下两种方案：
方案A：一次把10万元全押正面
方案B：每次押1元，押10万次
我们首先计算期望收益：
E(A)=2000, E(B)=2000
然后再计算标准差：
Std(A)=99980, Std(B)=316
夏普比例为：
Sharp(A)=0.02, Sharp(B)=6.32
如果我们算一下两种方案各自的亏损的概率，那么可以发现：
A方案亏损的概率就是49%，而B方案亏损的概率几乎为0！
为什么呢？因为B方案的期望收益为2000，标准差为316，如果B要亏损，必须发生6倍多标准差以外的一个事件。如果B是服从正态分布的话（后面讲的中心极限定理保证了B就是服从正态分布），这几乎是一个不可能发生的事件。下图是期望收益为2000，标准差为316的正态分布概率密度函数图。可以看出，发生负收益的可能性几乎为0。
3. 大数定律与中心极限定理
在大学理工类和经管类专业中，概率论都是必修课。在概率论这门课中有两个很重要的定律：一个是大数定律，另一个是中心极限定理。
大数定律的通俗解释是：当样本数量趋于无穷时，样本的均值一定是趋向于样本的期望值的。
通过大数定律就可以理解为什么赌场老板长期不会亏钱。赌场老板如果参与的是正和游戏，他的期望收益是正的。当他持续参与时，多次赌博的平均收益就是他期望收益，这是个正收益，因此他是能长期盈利的。
中心极限定理指出：在独立同分布的情况下，样本值的和在数量趋于无穷时的分布近似于正态分布。
通过中心极限定理，我们也可以理解持续参与正和游戏是一定盈利的。由于正和游戏的期望收益都是正的，那么多次参与正和游戏后，总的期望收益是每一次期望收益之和。多次参与后，这个期望收益会越来越大。但标准差增长的幅度却没有期望收益增长那么快，增长幅度是参与次数的开根号。
因此，随着参与次数的增加，期望收益与标准差之比越来越大。从前面的例子可以看出，参与1000次，期望收益与标准差之比是0.63。而参与10万次，期望收益与标准差之比是6.3。随着参与次数继续增多，这个比率会越来越大。
我们知道，在正态分布情况下，3倍标准差外的事件都是小概率事件，6倍标准差几乎就是不可能发生的事件。所以，随着参与次数的增加，持续参与正和游戏而亏损的可能性就越来越低，到了一定程度就几乎为0了。
同样的，做为赌场老板的对立面，赌徒的命运也是跑不出大数定律和中心极限定理的。
由于赌徒参与的是负和游戏，每一次的期望收益都是负的，所以持续参与，一定能获得他的平均收益，也就是负收益。平均都是负的，参与次数又多，不倾家荡产才怪。
随着赌徒参与次数的增加，他输钱的期望值的绝对值与标准差之比也越来越大，赢钱变成了一件几乎不可能实现的事件，那么亏钱也就几乎是个必然事件了。下表计算了赌场老板持续参与胜率为51%的游戏的结果。
表1 持续参与胜率为51%的游戏的结果
| 参与的总次数 | 期望收益与标准差之比 | 赌场老板亏钱的可能性 （赌徒获利的可能性） |
| 1 | 0.02 | 49% |
| 100 | 0.20 | 38% |
| 1000 | 0.63 | 25% |
| 10000 | 2.00 | 2.15% |
| 100000 | 6.32 | 1.5*10^(-10) |
下图是期望收益为-2000，标准差为316的正态分布概率密度函数图。可以看出，发生正收益的可能性几乎为0。
4. 举一反三
从上面的例子和分析可以看出，做投资如果持续参与正和游戏，长期坚持下来，一定是获利的。下面再举几个例子，希望起到抛砖引玉的效果。
1）赌场老板设置赔率不均衡
上面的例子是概率对赌场老板有利，其实赌场老板不光追求概率有利，赔率有利时他也是很高兴的。总之他追求的正和游戏，也就是期望收益为正的游戏。
如果还是猜硬币的游戏，但硬币是均匀的，向上和向下各有50%的可能性。如果赌徒猜对了，赢1块钱；猜错了，输1.1元。那么对于赌徒来说，同样是个期望收益为负的游戏，也就是负和游戏。对赌场老板来说，则是个正和游戏。
澳门或者拉斯维加斯的赌场老板们，购买那些老虎机的时候，早就在程序里设置好了。或者是概率对自己有利，或者是赔率对自己有利，总之是期望收益为正。大量的赌徒持续的参与这样的游戏，保证了赌场老板一定是盈利的。
2）封闭式基金折价套利
我以前反复提到过封闭式基金是个好的投资品种。封闭式基金由于有折价，持有到期后，折价一定会消失的。这个折价消失的过程，对于封闭式基金持有人就是个正和游戏。
持有到期后，大盘有可能涨，有可能跌。姑且认为大盘涨和跌的概率各是50%吧（其实大盘是个长期向上的过程，涨的概率是大于50%的），加上封闭式基金的折价缩小，那么就变成了一个获胜概率超过50%的游戏，即正和游戏。
参与每一次封闭式基金的封转开，都不保证一定是盈利的，但这一定是个正和游戏。长期持续参与这样的游戏，最终的结果一定是盈利的。
3）股指期货吃贴水套利
股指期货在贴水的情况下，其实就相当于封闭式基金折价。股指期货到期交割时，贴水一定会消失的。做多贴水的股指期货，也是不保证每次都盈利，但是个获胜概率大于50%的正和游戏。
4）开放式基金停牌股套利
有些股票被借壳重组或者有重大的利好消息，复牌时往往有若干个连续涨停。这时候瞪眼、眼红、干着急都是买不到的。但如果我们申购重仓这只股票的开放式基金，则可以搭个顺风车，随着基金净值的增长而获利。
如果这一段时间，这只基金的其他股票大幅下跌了，那么这次套利就可能是亏损的。但这次交易还是个正和游戏，不用理会某次的亏损，持续参与就可以了。
5）分级基金下折套利
去年股灾期间，发生了多次分级基金A类的下折，分级基金A类的下折套利空间往往有3%-5%。如果大盘在套利期间继续大幅下跌，套利也是有可能发生亏损的。
但如果我们心里明白：这是风险收益不对称的游戏，获利的可能性远远大于亏损的可能性，那么我们就可以勇敢的参与下折套利。事实上，在股灾期间，我参与了多次下折套利，从而在股灾期间继续获得收益，目前的个人证券资产比股灾前的最高点又高出了不少。
5. 投资大师们的大数定律
世界上最成功投资大师有两类：一类是以巴菲特为代表的价值投资派，另一类是以西蒙斯为代表的量化投资派。
巴菲特的投资思路是低价拿好股，并且长期持有。这表面上看起来和大数定律没什么关系，但长期持有其实就是在利用大数定律。好公司每天都在赚钱，明天的公司就比昨天的公司价值多了一些。所以持有优质公司，本身就是一个正和游戏。长期参与正和游戏，当然会源源不断的赚钱了。
而西蒙斯更是直接用的大数定律。他利用各种数学模型，发现市场上的正和游戏的机会，大量的参与。每次参与交易的期望收益都是正的（但并不保证每一次都是盈利的），长期参与这样的游戏，最终也是稳稳的获利了。
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