女儿上幼儿园小班后，想让她早点学习下加减法。
和大部分孩子一样，也是从掰手指开始学习计算的。数了近 1 个月手指后，有天晚上要求不用手指，尝试下口算。
″1 2 是多少？″
″3″
″那 2 3 呢？″
女儿想了想回答说：″5 ″
不错，充满期待。
″3 4 呢？″
孩子脱口而出：″5″
……
泪奔之后，还得打起精神继续教。
不过，同时发现，很多孩子都会卡在加减法这一关。
那是不是孩子年龄没到，还是真没数学天分呢，其实不必过于担心，因为这一关本来就没有你想得那么容易。
为什么女儿会毫不迟疑地得出一个错误答案呢？
这其实与心理学家维果斯基提出的″最近发展区″有关。维果斯基认为学生的发展有两种水平：
一种是学生的现有水平，即独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。
最后一个问题已超出了女儿当时的能力。
但为何她会回答的那么迅速呢。因为 2 3 在其能力范围内，愿意付出努力。而 3 4 她根本不知道从何入手，又何必为其费力，不如就随便猜个数吧。和我们做单选题一样，不知道答案就随便蒙一个。
这个阶段的孩子还是在用具体的实物点数解题。如 2 3，可能会在脑中想象为 2 个苹果加 3 个苹果，然后是点数：1、2、3、4、5，结论是 5 个苹果。对于 5 以下的计算，具象思维就已足够。可对于 3 4 或者 5 6，数量一多，在脑中要操作具象的点数就没那么简单了。
既然是能力不足，那该怎么办？
有的家长会说与其强求，不如等待，孩子大些了自然会懂，这也没错。不过，如果家长适当的提供帮助，能帮助孩子在″最近发展区″中尽快上一台阶。
于是暗下决心，在对照了多本教材后，发现新加坡数学一年级的教法还是比较合适的。
相比国内有的教材从数学拆合启蒙，新加坡数学启蒙侧重理解加减概念和相关策略。
比如还是 3 4，先选择其中较大的数 4。
从 4 开始再往后数 3 个数（较小的数）。
4、5、6、7，所以答案就是 7。
减法同样依据数轴，但根据数字的不同，分为 2 种方式。
① 一个大数减一个较小的数，如 9-2，采用倒数的方式，从 9 开始，9、8、7，答案是 7。
② 对于两个相近的数，如 9-7，则采用加法的方式，从 7 开始数，7、8、9，因为 7 后数了 2 个数，因此答案是 2。
新加坡数学的方式，算法直接依赖数轴，每次计算都能帮助孩子加深对加减本质的认识。
孩子也会有自信心，第一次发现加减原来并不难，即便不会进退位算法，但只要能数的正确，他们同样可以应付两位甚至三位的加减题。
从计算量看，虽然只是简单的将点数改为了数数，但因需要操作的数量相对减少，心算能力也会有明显提升。
启用新加坡数学后，进展顺利。但此方法的局限开始慢慢显现，毕竟一来不容易操作较大的数字，二来仅依赖该方法，很难在短期内达到抽象思维。
几个月后，为了应对进位加法，决心还是采用大多数教材的通用教法，拆数凑十。于是从凑十口诀开始。
1919好朋友，2828手拉手，3737真亲密，4646一起走，5555一双手。
背熟了口诀，下一步就是教如何拆数凑十。
有天，我拿出一个题目：4 8=？
没等我开口，就听女儿开始嘀咕。
″4 8=4 3 5，4 3=7，7 5=2 5 5，5 5=10，所以答案是12。″
很纳闷，她怎么会自己想出这么个进位算法的？
当时女儿熟练虽然掌握了点数和数数，能应付简单的计算，但仍处于具象运算阶段，利用数字直接进行抽象运算的能力尚弱。再说，像 8 8 这样，要准确数数也并不容易。
从具象运算过渡到抽象运算，期间最好增加一个半具象的过程。而我国古代所采用的算筹，就是半具象的最好工具，也是算盘的前身。
在古代就是一把刻得整齐的竹棍，用算筹表示数，在纵式中，纵摆的每根算筹都代表 1，表示 6~9 时，则上面摆一根横的代表 5。
算筹兼具了具象和抽象的特点。
抽象，是因为每个数字都对应了一个特定的摆放方式，可以像 8、八、eight 一样实现数字与符号的一一对应。
同时算筹也是具象的，4 就是 4 根竹棍，6 就是 5 1 根竹棍，可以直接用于点数计算。正是算筹这种半具象的特点，孩子能很快突破抽象思维。
用算筹作媒介后，计算难度会明显下降，女儿的进度再次加快。
但每种工具都有盲点，算筹也不例外，比如上述的 4 8，用算筹只能转化为 4 3 5，还是不能立即得出答案。
这也是我当时准备教女儿凑十法的原因，毕竟将 4 拆成 2 2，4 8=2 2 8，仅用一次拆分就能完成计算。
但女儿可能想不了这么多，她不过是将题目看成算筹的拆合游戏看待。先将 8 拆成 3 5，看不出答案，那就再将 4 和 3 组合成 7。7 还可拆成 2 5，这时发现，出现了能力范围内的 5 5=10，于是顺利完成。
在那个阶段，算筹充当了女儿的学步车，拥有抽象思维能力后，对算筹的依赖度逐渐越来越低。
短短几个月，女儿学会了 20 内的加减。
既然最难的第一步已成功突破，再攻克多位数加减，就不是大难题了。
多位数加减，传统的竖式计算最为简便高效。竖式是程序性算法，步骤记忆是关键。
经过一个多星期的折腾，基本学会了竖式计算，一个多月后已能应对三位数的加减。
不过没想到的是，有一个月因为重心转向学英语，没有再练习，等回过头再练习时发现各种错误，和没学一样。
原来，传统竖式，虽高效简洁，不过不方便理解。另外，女儿年龄小，认知也不足，因为面对多位数加减，既需要运用位值原理，又考验计算能力，还要牢记竖式解题步骤。任何一方面的基础不稳，都容易产生各种错误。
既然竖式算法刷题也不管用，决定不如将多位数加减的目标，拆解成小任务，降低学习难度。
随后，我几经反复，选择了美国 UCSMP 的小学数学教材-Everyday Mathematics和相应练习册。
美国数学教学进度不快，直到 3 年级才出现竖式计算。可其对于基本概念相当重视，所有概念都有反复的单项训练，而这正是女儿所需要的。
正确计算的关键，在于位值原理的掌握和基本的数字运算。位值的特点，是同一个数字由于它所在的位置不同而表示不同的值。例如在 Everyday Mathematics 中，位值的题目包括下面两种形式。
① 456 中的 4、5、6 的数值各是多少。
② 个位为 1，百位为 5，十位为 0 的数是哪个。
经过数月的专项训练，女儿的位值概念渐渐清晰，女儿的心算能力慢慢提升。不依赖竖式，也能口算完成大部分加减题目。
还会用类比方法解题，从 2 位到 3 位，再到 4 位加减，基本都能在没有例题的情况下，依靠原有知识独立推断完成。
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终于，可以长叹一口气啦，掌握加减法并不容易。
父母在遇到问题时，不妨多试试有没有更合理、更简单的方式帮助孩子，有时，合理的方法和坚持同等重要。
教育之路，就是不断出现问题，解决问题的过程呐。
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