椭圆中的垂径定理

有童鞋在朋友圈留言，希望我写写圆锥曲线综合题的解法.

的确，这个部分有写头.

前天写了椭圆的直径，我们发现椭圆和圆有不少相似之处；今天继续谈它们的另一个相似点----垂径定理.

一、什么是椭圆中的垂径定理？

为把问题讲清楚，先说说“点差法”.

高中阶段，处理直线和圆锥曲线的方法主要有两个：

1是联立方程法；2是点差法.

点差法顾名思义就是，取点代入，然后作差.

如上图所示.

下面我们来实施点差法.

观察（4）式的特点.

由此我们得到下面的结论.

我们和圆作类比.

如果MN为圆中非直径的弦，P为MN的中点，有什么结论呢？

我们能自然联想到圆中的垂径定理及其推论.

大家比较上面椭圆中的结论和圆中的结论，是不是很像？

在椭圆的直径中，我们讲过这样的观点：圆可以看做椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看做圆.

所以，我们形象地把这个小结论称为椭圆中的垂径定理.

请大家注意，如果椭圆的焦点在y轴上，从推导过程可以看出，小结论有点变化.

也就是说，当焦点位置变化时，结论中的a,b要互换位置.

二、什么情况下用这个小结论？

从结论的描述中，我们能够看到：如果遇到弦的中点，需要解决斜率相关问题，考虑使用椭圆中的垂径定理.

看一个栗子.

分析：这道题每一问都设计到弦的中点，简直为我们的小结论设计的.

各位看官，请自觉解题5分钟.

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首先分析焦点位置，以便于判断采用哪一个结论.

下面利用小结论解题.

注意，这里有一个检验过程，确保直线与椭圆是相交的.不然的话，结论是海市蜃楼.

注意讨论B点是否和原点重合，注意标注轨迹方程的范围.

同样，注意讨论平行于坐标轴的情况，注意本问中轨迹方程也有范围限制，需强调在椭圆内的部分.当然，你能够精确计算出坐标的范围最好.

亲爱的读者，在圆锥曲线中，双曲线和椭圆最为类似，你能写出在双曲线中类似的结论吗?