圆外一点与圆上一点的距离最值

如图，点A为⊙O外一点，点B在圆上，当点B位于何处时AB可以取最大值或最小值？

易得，当O，B，A三点共线，且点B位于OA之间时，AB最小；

当O，B，A三点共线，且点O位于AB之间时，AB最大．

可以观察几何画板的动画演示

那到底如何证明呢？

（1）如图，根据三角形的三边关系：OB+AB≥OA，当且仅当O，B，A三点共线时，OB+AB＝OA．

即当O，B，A三点共线时，OB+AB取最小值为AO．因为OB为半径长度不变，所以此时AB取最小值．

（2）如图，根据三角形的三边关系：OB+OA≥AB，当且仅当B，O，A三点共线时，OB+OA＝AB．

即当B，O，A三点共线时，AB取最大值为OB＋OA＝AB′．

现在明白为什么了吗？做到题目试试吧！

【典型例题】

（14成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

【几何画板动态演示】

【解析】

解：如图所示，根据旋转的性质得MA＝MA′，则点A′在以M为圆心MA为半径的圆上运动，当点点M，A′与C三点共线时A′C最短，此时A′C＝MC－MA′＝－1．

【总结】根据旋转易得MA＝MA′，点A′在以M为圆心MA为半径的圆上运动，易得点M，A′与C三点共线时A′C最短．

【举一反三】

（15三明）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．