究竟什么是弗协调逻辑？如果说要给出一个明确的定义那还是不容易的。不过，这并不妨碍我们可以给它做出一个大致的描述，即它是可以被运用于一切不协调但并非不足道的理论的基础逻辑，是迄今能处理不协调性问题的惟一的一类逻辑理论。一个理论如果包含两个互相矛盾的命题则称之为不协调的，否则称之为协调的。一个理论如果包含了由两个互相矛盾的命题可以推出一切命题的定理或推理规则，那么这个理论就是不足道的，否则就是足道的。不足道的不协调理论并无研究的必要，但是并非不足道的不协调理论就不一样了。并非不足道的不协调理论被称为弗协调理论。能用作弗协调理论的基础的逻辑就是弗协调逻辑。
通常认为，一种具体的逻辑只有在它的一阶谓词演算建立之后才能说它的存在。根据这个标准，我们可以说，弗协调逻辑是由巴西逻辑学家科斯塔（N.C.A.da Costa）在1963年创立的。因为他从弗协调逻辑的基本思想出发，构造了在其中“A”和“?A”都是定理，但并非不足道的纯形式演算系统，即弗协调逻辑系统。
弗协调逻辑自创立以来，获得了巨大发展，影响广泛。目前，世界各地都有逻辑学家投入弗协调逻辑的研究，使得它成为了非经典逻辑领域中一个十分活跃的研究主题，特别是在巴西、澳大利亚、保加利亚、意大利、波兰等国，研究工作已经达到了相当的程度。弗协调逻辑在计算机科学、人工智能、法律等方面都有广阔的应用前景。我国学者张清宇研究员在科斯塔弗协调命题逻辑系统Cn的基础上建构了弗协调模态命题逻辑系统CnG′和弗协调时态命题逻辑系统CnG′H′和CnUS等。本文主要围绕弗协调逻辑在哲学方面的意义作些讨论。
一、弗协调逻辑为一切弗协调理论提供逻辑基础
弗协调逻辑系统可以被我们构造出来，但是它必须更多地回答现实生活中提出来的问题，更多地考虑哲学或者科学中不协调但并非不足道的理论。作为其逻辑基础，并为这些不协调但并非不足道的理论研究服务，是弗协调逻辑的重大哲学意义之所在。
弗协调逻辑的根本作用在于为弗协调理论提供逻辑基础。经典逻辑由于包含着从矛盾可以推出一切这一定理（实质蕴涵造成的），所以不适合用来研究不协调理论，即不适合作为不协调理论的逻辑基础，否则就会造成整个理论成为不足道的，即没有意义的。弗协调逻辑则认为，矛盾并不都是必须排除的，只要从矛盾不能推出一切，即矛盾不会扩散，矛盾就是可以容纳的。因此，弗协调逻辑可以作为一切弗协调理论的逻辑基础。黑格尔的辩证法、早期的微积分理论、早期量子理论、素朴集合论、素朴语义学等都是弗协调理论，其共同基础都是弗协调逻辑。下面我们以素朴集合论为例加以说明。
素朴集合论是在19世纪末，主要由戴德金（Dedekind）、康托尔和弗雷格等人创立并发展起来的集合论。这一理论捕捉住了素朴集合的概念，即任意性质可以构成一个集合。但根据常识推理却可从中推出集合论悖论等矛盾性的东西。尽管素朴集合论含有悖论，是不协调的，但这种理论本身还是有价值的，有意义的，即素朴集合论是一种并非不足道的不协调理论。
康托尔所创立的素朴集合论又称为“超穷集合论”。它所包含的第一个矛盾是“最大序数悖论”。该悖论是由意大利数学家布拉里-福尔蒂（Burali-Forti）在1897年首先公布的。在“超穷集合论”中，序数是一个非常重要的概念，用来刻画良性集合。序数是用来表示次序的数目，例如“第一”、“第二”、“第三”等。超穷集合论中有一个关于序数的定理，该定理说：“一个由序数组成的良序集合本身的序数必然大于作为元素的任一序数”。例如，由序数“第一”、“第二”、“第三”组成的良序集合R={第一，第二，第三}。这个良序集合R的序数必然大于作为元素的任一序数，也就是说R的序数必然至少为“第四”，即至少`R=第四。但是，现在我们要构造一个“由一切序数构成的良序集合B”，即B={一切序数}。这时集合B的序数`B当然也就应该比集合B中作为元素的任一序数都要大，即`B?B；但是集合B的序数`B也是一切序数中的一个，即`B?B。序数`B既是集合B的一个元素又不是集合B的一个元素，这就是“最大序数悖论”。实际上，康托尔本人比布拉里-福尔蒂发现这个悖论的时间还要早，只不过他自己并不伸张，也不害怕，而是在悄悄“利用”悖论为自己的理论服务。
康托尔还发现了自己的集合论中另外一个悖论，即“最大基数悖论”。一个集合的基数就是指在一个集合中所包含的元素的个数。在“超穷集合论”中，有一条定理——康托尔定理说：“任一集合R的基数必然小于这个集合的幂集P(R)的基数”。例如，构造一个集合R={1，2，3}，该集合的基数为3，该集合的子集为F，{1}，{2}，{3}，{1、2}，{1、3}，{2、3}，{1、2、3}，集合R的全部子集可以构成一个集合，该集合称为集合R的幂集，记为P(R)。这里，集合R的幂集P(R)的基数为8。显然，集合R的基数小于它的幂集P(R)的基数。但是，我们现在要构造一个“以一切集合为元素所组成的集合C”，即C={一切集合}，而P(C)则是集合C的幂集。根据康托尔定理，集合C的基数必然小于其幂集P(C)的基数；但是P(C)本身又是集合C的一个元素，P(C)的任意一个元素也都必然是一个集合，也都必然是集合C的一个元素，于是，集合C的基数当然也就应该比其幂集P(C）的基数大。这样，集合C的基数既大于又小于其幂集的基数，这就是“最大基数悖论”，也称为康托尔悖论。
从弗协调逻辑的观点来看，在不涉及最大序数和最大基数的情况下，超穷集合论中的序数定理或康托尔定理还是成立的，但是对于涉及到最大序数或最大基数时，超穷集合论中的序数定理或康托尔定理就不成立了。这就是说必须规定序数定理或康托尔定理的适用范围，也就是要限制矛盾律作用的普遍性。
罗素所发现的集合论悖论是从康托尔悖论出发推导出来的。从康托尔悖论再往前走一步，就是集合论悖论。罗素所发现的集合论悖论“剥掉了数学技术性的枝节”，仅仅使用了集合、元素、属于等少数几个十分简单的概念。元素属于集合，一个集合也可以成为另外一个集合的元素。罗素把所有的集合分为两类：一类属于良序集合，其中任何一个集合自己都不是自己的元素，即任何一个集合都不会自己属于自己，如“学生”的集合，“学生”是一个概念而不是学生；另一类属于非良序集合，即一个集合自己也可以是自己的一个元素，即一个集合还可以自己属于自己，如“概念”的集合，“概念”本身也是一个概念。现在要构造一个由所有的良序集合所构成的集合，也就是“由所有那些自己不属于自己的集合所构成的集合D”，即D={所有自己不属于自己的集合}。现在要问的是，集合D是不是属于自己呢？如果D?D，则D?D；如果D?D，则D?D。即如果这个集合是自己的一个元素，则它不是自己的一个元素；如果不是自己的一个元素，则它就得是自己的一个元素。
为了避免在集合论中出现悖论，策梅罗-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）采取了“加限制”的方法，建立了ZF公理集合论。在ZF公理集合论中，显然不能允许构造“所有集合的集合”，即不能允许任意性质都可以构成一个集合，当然悖论也就不存在了。不过，这样一来，也就违背了素朴集合论中集合的构成原则，已经不是素朴集合论了。
二、弗协调逻辑为哲学辩证法提供证据
自亚里士多德以来，矛盾律一直是人们心目中至高无上的原则。在经典逻辑中，协调性即不矛盾性是一个逻辑系统的根本元定理。在经典逻辑中，两个互相矛盾的命题A和非A不能都真，其中必有一个是假的；两个互相矛盾的命题A和非A也不能都是假的，其中必有一个是真的。A和非A必有一真，必有一假；不能同时都是真的，也不能同时都是假的。遵守矛盾律的结果使人们形成了“非此即彼”的精确思维方式。这种思维方式对于保证思维的确定性和明确性是非常重要的，也是必不可少的。但是如果将它固定化、片面化，在现实生活和科学研究中就会产生出许多问题。
恩格斯曾经举例说：“在日常生活中，我们知道，并且可以肯定地说某种动物存在还是不存在；但是在进行较精确的研究时，我们就发现这有时是极其复杂的事情。这一点法学家们知道得很清楚，他们绞尽脑汁去发现一条判定在子宫内杀死胎儿是否算是谋杀的合理界限，结果总是徒劳。同样，要确定死的时刻也是不可能的，因为生理学证明，死并不是突然的、一瞬间的事情，而是一个很长的过程。”[1]P61恩格斯说的实际上是关于模糊性的问题。模糊性是客观存在的，客观事物本来就没有绝对分明和固定不变的界限。我们在日常生活和科学研究中经常使用着不精确的含糊性概念。例如，当我们说，“某某还是个年轻人”，这里的“年轻人”到底是一个什么样的概念，究竟多大岁数到多大岁数算是年轻人，人们通常只有一个大致的范围，并没有确定的界限。当我们说，“某某开的是一辆红色轿车”，这里的“红色轿车”到底是一个什么样的概念，比如某某开的到底是一辆深红色的轿车，还是一辆浅红色的轿车，不确定。下面以“秃”还是“不秃”的区分为例，详细分析一下含糊性问题。
“秃”还是“不秃”的区分问题，一般认为是由古希腊的麦加拉学派最早提出来的疑难问题之一，通常称为“秃头悖论”。这个悖论可以表述为：“失去了多少头发才算是一个秃头？”或者表述为：“少一根头发能否成为一个秃头？不能。再少一根呢？不能。再少一根……最后少的一根头发造成了秃头。那么，究竟哪里是造成‘秃头’的界限呢？”
如果规定，没有一根头发才算是秃头，只要有一根头发就不算是秃头，那么就不会有秃头悖论了。现在的问题是，我们通常称呼“秃头”，并不仅限于指没有一根头发的人，只要头发少到一定的程度，那么就可以说他是一个秃头。
在日常生活中，要确定某人是否秃头，这是很容易做出判断的。但是，要说清楚究竟掉了多少根头发才算是秃头？要对秃头和非秃头做出一个量的准确定义，却是十分困难的。
从经典逻辑出发，我们可以按照以下两种方式来考虑秃头和非秃头的区分。
（一）违背常识的区分方法。确定一个作为界限的头发根数N0，N代表实际的头发根数。规定如果N＜N0，则为秃头；如果N＞N0，则为非秃头。但是，这里仅仅根据一发之差，就区分秃头和非秃头，实际上不合乎常识。在日常生活中，这样的N0实际上是不存在的。
（二）合乎常识的区分方法。从常识来看，一根头发的差别并不能改变秃头和非秃头的性质。我们先做出下述规定：
A：没有一根头发的人（N=0）是秃头。
B：比秃头多一根头发的人是秃头。
C：比非秃头少一根头发的人是非秃头。
D：满头乌发的人（例如N=1000 000）是非秃头。
从常识看，上述命题都是真命题。但是，如果从命题A和命题B出发，按照经典逻辑的推理规则作连锁推理，可以得到下面的命题：
E：满头乌发的人是秃头。
如果从命题C和命题D出发，按照经典逻辑的推理规则作连锁推理，又可以得出以下命题：
F：没有一根头发的人是非秃头。
显然，命题E和命题D相矛盾，命题F和命题A也是矛盾的。
上述分析说明了一个问题，如果我们要满足经典逻辑的要求，即在思维中不出现任何矛盾的情况，那么就会违背常识。但是如果要满足常识的要求，就必然导致矛盾。这里的问题就是，究竟应该让常识来满足逻辑的要求呢？还是应该让逻辑做出改变以便合乎常识呢？
前者是我们人类一直以来的基本做法，后者则应该是我们今后需要努力的方向，因为它代表了当代科学技术和当代社会发展的必然要求。
恩格斯曾经指出：“辩证法不知道什么绝对分明和固定不变的界限，不知道什么无条件的普遍有效的‘非此即彼’！它使固定的形而上学的差异互相过渡，除了‘非此即彼’！又在适当的地方承认‘亦此亦彼’！并且使对立互为中介。”[1]P182就秃头悖论来说，没有一根头发的人是秃头，或者比秃头仅仅多一根头发，或者仅仅多几根头发的人也是秃头；满头乌发的人是非秃头，或者比非秃头仅仅少一根头发，或者仅仅少几根头发的人也是非秃头；中间，还存在许多状态，对于这些状态来说，既可以说是秃头，也可以说是非秃头。究竟是秃头还是非秃头，需要根据实际情况来确定。这就是辩证法所说的“非此即彼”和“亦此亦彼”。
弗协调逻辑系统的建立为辩证法的上述思想提供了证据。在科斯塔所建立的弗协调命题逻辑系统Cn中，当A为假时?A为真，而当A为真时?A可真可假。弗协调逻辑系统Cn仅仅否定了经典逻辑中矛盾律的普遍性，但是经典逻辑中的排中律在弗协调逻辑系统Cn仍然是成立的。这里明显体现出弗协调否定与经典否定之间的根本区别。在科斯塔和沃尔夫根据弗协调思想所建立的辩证逻辑系统DL中，不但当A为真时?A可真可假，而且当A为假时?A也可真可假。DL系统中的否定基本上体现出了辩证否定的重要思想。辩证逻辑系统DL中的否定正好体现了辩证法既承认“非此即彼”，又承认“亦此亦彼”的辩证否定观。在这里，辩证的否定包含了经典的否定。当一个命题A的真为经典的真时，这时对命题A的否定就是“非此即彼”的否定，但是当一个命题A的真为非经典的真即为两可的真时，这时对命题A的否定就是“亦此亦彼”的否定。
三、弗协调逻辑与辩证逻辑
弗协调逻辑与所有其他的非经典逻辑都有密切的关系，尤其是与辩证逻辑和相干逻辑有密切的联系。这里，我们是要考虑弗协调逻辑与辩证逻辑之间的联系。事实上，辩证法本身显然是不能形式化的，不过这里所说的辩证逻辑仅仅是指那些试图对一些已经提出来的辩证法理论陈述进行形式化的处理。关于弗协调逻辑和辩证逻辑的关系，科斯塔认为二者有密切的联系，但是它们只是交叉而不是重合的关系，即二者还是存在着不同之处。他说：“辩证逻辑跟不协调逻辑系统的理论密切相关。辩证逻辑有若干冲突的概念，而且对大多数专家来说它既不是形式的，甚至原则上也不是可形式化的。然而，利用不协调系统的理论中所用的技术，形式化一些已经提出来的辩证逻辑显然还是有可能的。顺便说一下，我们正在谈论的形式化事实上类似于为直觉主义数学各个部分所作的形式化：我们并不打算在所作的形式学说上建立辩证逻辑，而仅想弄清‘辩证运动’的‘规律性’。这样，我们也许可以重新阐明辩证逻辑。” [2]科斯塔和沃尔夫在1980年合作发表了《弗协调逻辑研究之一——辩证法的对立统一原理》一文，认为有可能用形式化的方法来阐明对立统一规律。
科斯塔和沃尔夫对弗协调辩证逻辑的研究工作是在麦克吉尔和帕里（McGill and Parry）研究成果的启发下开展的。麦克吉尔和帕里在1948年发表的《对立统一：一个辩证法原理》一文中，使用当代分析哲学的方法和术语，为使受分析传统训练的哲学家理解对立统一原理做了很多工作。麦克吉尔和帕里提出了关于对立统一原理的六种解释，科斯塔和沃尔夫主要对其中的第五种解释和第六种解释感兴趣，因为他们认为只有后两种解释“明确地涉及形式逻辑的修正”。
第五种解释是：“在任何具体的连续统中，不管是历时的还是非历时的，两个邻近的对立性质A和?A之间有一个中间地段，即该连续统有一处，在该处并非任何事物要么是A要么是?A”。
第六种解释是：“在任何具体的连续统中，都有这样一处，在该处某物既是A又是?A”。
麦克吉尔和帕里所提出的上述第五种解释实际上否定了排中律的有效性（即A和?A可以都是假的），而第六种解释则否认了矛盾律的有效性（即A和?A可以都是真的）。
几千年来，人们在逻辑中的思维模式一直是“非此即彼”的经典否定模式，即如果A假则?A真，并且如果A真则?A假。这种“非此即彼”模式充分体现了作为整个经典逻辑基石的排中律和矛盾律的基本思想。
但是，在现实生活和科学研究领域中，客观事物本身并非都是“非此即彼”、泾渭分明的。现实生活和科学研究的实践领域都迫切要求我们必须具有‘亦此亦彼’的辩证否定的思维方式。辩证否定的思维模式是指当A为真时?A可真可假，而当A为假时?A也可真可假。辩证否定的思维模式不但和经典否定的思维模式有根本区别，而且与弗协调命题逻辑系统Cn也存在着不同。在弗协调命题逻辑系统Cn中，当A为假时?A为真，而当A为真时?A可真可假。为什么辩证否定模式当A为真时?A可真可假呢？这得看A为真是否为经典的真，如果A为经典的真（记为T），则?A为经典的假（F）；如果A不为经典的真，即为两可的真（记为t），则?A也为两可的真（t）。为什么辩证否定模式当A为假时?A也可真可假呢？这也得看A为假是否为经典的假，如果A为经典的假（记为F），则?A为经典的真（T）；如果A不为经典的假，即为两可的假（记为f），则?A为也为两可的假（f）。
当A为真（T）?A为假（F）时表示的是经典真值情况，遵守矛盾律，当A为假（F）?A为真（T）时表示的也是经典真值情况，遵守排中律。但是当A和?A都为非经典真（t），或者都为非经典假（f）时，即?A的值和A的值完全相同，这相当于辩证法所说的自己成为了自己的“他者”，具有真正的‘亦此亦彼’的意思。而且两可的假（f）与经典的假（F）相比，更接近于经典的真（T），因为f、T两者的否定都是假。两可的真（t）与经典的真（T）相比，则更接近于经典的假（F），因为t、F两者的否定都是真。经典的真、经典的假、两可的真、两可的假四者按真值由强到弱排列为：经典的真、两可的真、两可的假、经典的假。
可以说，麦克吉尔和帕里关于对立统一规律的第五种解释和第六种解释，不仅能反映客观事物的“非此即彼”的性质，而且也比较恰当地反映了我们日常生活和科学研究活动中‘亦此亦彼’的辩证思维模式，是我们构造辩证逻辑系统的基础。
科斯塔和沃尔夫（R. G. Wolf）正是在麦克吉尔和帕里关于对立统一规律的第五种解释和第六种解释的基础上，运用弗协调逻辑思想构造了辩证命题逻辑系统DL和辩证谓词逻辑系统DLQ。因篇幅所限，本文对这两个系统不作介绍。
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