有关圆的综合题，第3问求线段的长度，难度稍大，你能解答吗

当然，如果学生没有掌握相关知识点，将仍然无法顺利做出来。此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE=CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．

（1）求证：CE2=AE*AF；

（2）求证：∠ACF=3∠BAF；

（3）若FG=2，求AE的长．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）将结论变形可以得到线段比例式，由此想到可能需要证明三角形相似。先判断出∠ACE=∠AFC，进而判断出△ACE∽△AFC，得出AC2=AE*AF，再由CE=AC，即可得出结论；

（2）由于△AOC是等腰直角三角形，结合△ACE是等腰三角形，于是可以求出相关角的度数。先求出∠CAE=∠CEA=67.5°，进而求出∠BAF=22.5°，即可得出结论；

（3）过点G作GH⊥CF交AF于H，可以推出AH=HG=2，再求出FH，GH，最后判断出EF=FG，通过线段的相加减，即可得出结论．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴弧AC＝弧AD，

∴∠ACE=∠AFC，（等弧所对的圆周角相等）

又∵∠CAE=∠FAC，

∴△ACE∽△AFC，

∴AC/AF＝AE/AC，

∴AC2=AE*AF，

∵AC=CE，

∴CE2=AE*AF；

（2）证明：∵AB⊥CD，

∴∠AOC=90°，

∵OA=OC，（都为圆的半径）

∴∠ACE=∠OAC=45°，

∵AC=CE，

∴∠CAE=∠AEC=1/2（180°-∠ACO）=67.5°，

∴∠BAF=∠CAF-∠OAC=22.5°，

∵∠AFC=1/2∠AOC=45°，（圆周角定理）

∠AEC=∠AFC+∠DCF=45°+∠DCF=67.5°，

∴∠DCF=22.5°，

∴∠ACF=∠OCA+∠DAF=67.5°，

∵∠BAF=22.5°（已证）

∴∠ACF==3∠BAF；

（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，

∴∠FGH=90°，

∵在△FGH中，∠GFH=45°，

∴∠FHG=45°，

∴HG=FG=2，

∴FH=2√2，（通过勾股定理计算）

∵∠BAF=22.5°，∠FHG=45°，

∴∠AGH=∠FHG-∠BAF=22.5°=∠BAF，

∴AH=HG=2，

∴AF=AH+FH=2+2√2，

由（2）知，∠OAE=∠OCG，

∵∠AOE=∠COG=90°，OA=OC，

∴△AOE≌△COG（SAS），

∴OE=OG，∠AEO=∠CGO，

∴∠OEF=∠OGF，（等角的补角相等）

连接EG，

∵OE=OG，

∴∠OEG=∠OGE=45°，

∴∠FEG=∠FGE，（等量代换）

∴EF=FG=2，

∴AE=AF-EF

=2+2√2 -2

=2√2．

（完毕）

这道题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，题目具有较强的综合性，构造等腰直角三角形FGH是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。