平面几何的最值问题
【阅读与思考】
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值.
求几何最值问题的基本方法有:
1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.
2.几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理.
3.数形结合法等:揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.
【例题与求解】
【解析】
作点B关于直线AC的对称点B'，交AC与E，连接B'M，过B'作B'G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知B'M+MN=BM+MN≥B'G，再由等号成立条件得出AC=10√5，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB'的值，由相似三角形的判定定理得出△B'GB~△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解.
【点评】
本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
【点评】
本题考查了三角形相似的判定与性质.也考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的判别式运用.
【解析】
(1)根据勾股定理易得路线1:l₁²=AC²=高²+(底面周长一半)²；路线2:l₂²=(高+底面直径)²；让两个平方比较，平方大的，底数就大.
(2)根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.
【点评】
此题考查了平面展开一最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减，注意运用类比的方法做类型题.
【解析】
根据题意画图分析.用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长.借助三角形相似建立关系.
【点评】
根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围.
【点评】
本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x²+2(1-y)x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键.
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