乘法公式的使用和推广

在乘法公式的教学过程中，我们需要掌握下面五个公式。

其中前面两个公式是苏科版教材的内容，第三个公式是苏科版教材需要大家掌握的内容，最后两个立方和立方差公式教材中没有，学生了解一下即可。在实际作业中，有些题目比较复杂，我们需要从以下几个方面对公式加以推广。

一、项的符号顺序发生变化

下图所示的四个式子其实都可以使用平方差公式展开。

注意看上述的式子，我们认真分析一下可以发现，左边的两个括号内的两项绝对值都是相同的；只是一项符号相同，另一项符号相反。所以我们以其中一个为例把符号相同的写在前面，符号相反的写在后面，如下所示。

由此我们可以得到所有答案。

    如果括号内有三项，我们只需要把符号相同的项放前面，符号不同的项放后面，就可以用平方差公式展开了。大家可以仿照上面的两个式子完成下面的四个解答。

       

类似的，如果是完全平方公式，则需要前后两个括号里的两项满足绝对值相同；符号也相同（相反）。

例题1：

在下列多项式乘法中，有没有能用完全平方公式计算的？如能，写出化简的结果。

(1) (－a＋2b)²                    (     )

(2) (b＋2a)(b－2a)              (     )

(3) (1＋a)(－a－1)               (     )

(4) (－3ac＋b)(3ac－b)       (     )

(5) (a²－b)(a＋b²)              (     )

(6) ( 100－1)(100＋1)         (     )

分析：

我们把(a＋b)²展开，即可写成(a＋b) (a＋b)，其中，第一个括号中的a，与第二个括号中的a相同，b也相同；若(a＋b)(－a－b)，a与－a，b与－b互为相反数，我们可以写成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)²，说明符号要求是均相同或均相反的情况也可以用完全平方公式．

解答：

(1)可以，符号均相同，为(a－2b)²

(2)不可以，符号一同一反

(3)可以，均相反，为－(1－a)²

(4)可以，均相反，为－(3ac－b)²

(5)不可以，绝对值不同

(6)不可以，符号一同一反

二、整体思想的使用

整体思想在这一块使用非常多，我们来看几个例题。

例题2：

化简求值：(m＋n)²－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)²，其中m＝2019，n＝－2

分析：

本题中，我们不难发现，如将m＋n看作整体，2(m－n)(m＋n)看作中间项的2×首×尾，则尾项的底数换成m－n为整体，则整个式子又可看作是完全平方公式的展开形式，直接逆用完全平方公式简算

解答：

原式＝(m＋n)²－2(m－n)(m＋n)＋(m－n)²

＝[(m＋n)－(m－n)]²

＝(2n)²＝4n²

当n＝2时，原式＝4×2²＝16

例题3：

已知(x－y)²＝3，(x＋y)²＝7，求xy，x²＋y²

分析：

本题可以把xy，x²＋y²都看作一个整体，两式相加÷2或两式相减÷4就可以解决了．

解答：

引申：

（1）已知a－b＝7，ab＝3，求(a＋b)²的值．

（2）已知a－2b＝4，ab＝6，求a＋2b的值

提示：

刚才的例题3知道的都是二次项，而这道题给出的a－b是一次项，所以要先平方变为二次再处理．第二个问题注意两解。

总结：

我们将完全平方公式进行解剖，可以得到四个重要的代数式(a＋b)²、(a－b)²、ab、a²＋b²，我们只要知道其中的两个，就能求出另外两个。需要注意的是这四个代数式的次数都是二次，如果给出的式子是(a＋b)，(a－b)，则需要先去平方，使之变为二次．

三、配方法的渗透

配方法其实是完全平方公式的逆用。就是要针对式子的特征找到符合完全平方公式的三项组成完全平方公式。

例题4：

若a、b满足a²＋b²－4a＋6b＋13＝0，求代数式(a＋b)²⁰¹⁹的值．

分析：

本题中，我们注意到等式左边有五项，前两项可以看作首平方，而－4a，6b可以看作2×首×尾，自然想到把13拆成两个尾平方。一般的问题是将其中一项(一个数)拆成两个完全平方项(数)，凑两个完全平方式，变成两个非负数和为0的形式．

解答：

解答：

 a²＋b²－4a＋6b＋13

＝a²－4a＋4＋b²＋6b＋9

＝(a－2)²＋(b＋3)²=0

∴a＝2，b＝－3，

∴(a＋b)²⁰¹⁹＝－1．

引申：

（1）若x、y满足x²＋4y²＝6x－16y－25，求代数式x^y 的值．

（2）4x²－kx＋81是完全平方式，求k．

分析：

第一题可以与例题一样如法炮制，但需要先移项．具体过程大家写一下。第二题也一样要注意两解。

引申2：

16x²＋9添一项整式变成一个完全平方式，求要添的项。

分析：

要使多项式变为完全平方式，变成“首²±2×首×尾＋尾²”形式，题目中的两项可以当作首项和尾项，这样可以添加两个中间项（正负）；也可以当作中间项添加首（尾）项，但要注意添加的代数式必须为整式．

解答：

四、运用公式简便运算

有时候一些有理数的运算使用乘法公式逆用会让运算简便很多。

例题5：

计算：（1）1999×2001  （2）102²－204×2＋4

分析：

本题中的数据直接计算都比较复杂，仔细分析数据间的关系会发现可以逆用乘法公式来解决。

解答：

（1）原式=（2000-1）×（2000+1）=2000²-1=4000000-1=3999999

（2）原式＝102²－2×102×2＋2²＝(102－2)²＝10000

总之，对于代数问题我们需要动手去算，充分思考，将已知条件往公式上去靠。数学问题的解答需要广度和深度，广度就是要见得多，深度就是要想得深，做的多，学好数学没有捷径可言。