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2021.11.20
未来的日子里,我会陆续发布一些经典数学试题的原创解法,也会和大家分享数学中的一些奇思妙想!
一道南京大学《数学分析》习题的几种初等解法
设.试在内选取个点,使得
取得最大值.
解:
此题本质上转化为证明不等式:
若,则
下面我们给出三种不同的证法:
法一:
法二:
考察函数,那么
此式等价于式!
法三:
用数学归纳法.
当时,结论平凡;
当时,即柯西不等式;
当时,对进行归纳易证;
当不是的幂时,
则
又
从而
.
注:法三的方法可证明柯西不等式的推广
其中
回到原题
等号当且仅当成等比时取得.
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