四边形的综合题，要证矩形并求线段的长，关键是直角三角形性质

例题：（初中数学综合题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF=BE，连接DF和OF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形．

（2）若AD=5，CE=3，∠ABF=60°，求OF的长．

知识回顾

平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

平行线的性质：两直线平行,同位角相等。两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补。

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC且AB=DC，（平行四边形性质）

∴∠ABE=∠DCF，（平行线的性质）

在△ABE和△DCF中，

AB＝DC，

∠ABE＝∠DCF，

BE＝CF，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，

∴AE∥DF，（平行线的判定）

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AEFD是矩形.

（有一个角为直角的平行四边形是矩形）

（2）解：∵四边形AEFD是矩形，

∴EF=AD=5，（矩形的性质）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=5，OB=OD，（平行四边形性质）

∵EC=3，

∴BE=CF=2，（线段的计算）

∴BF=BC+CF=7，

∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，

∴∠BAE=30°，

∴AB=2BE=4，（含30°的直角三角形的性质）

∴DF=AE=2√3，

（此处用勾股定理，计算过程略）

∴BD=√61，

∵OB=OD，∠DFC=90°，

（直角三角形斜边的中线性质）

∴OF=1/2BD=√61/2．

（完毕）

这道题是关于四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识等，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。