冯跃峰
本节我们用一个难度较大的高考题的例子，说明解题中如何“构造相同”，它可以称得上是史上“最难”高考题之一。
【题目】设A是定义在[2，4]上且满足如下条件的函数f（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0<L<1），使得对任意的，都有
。
；
如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
任取∈（1，2），令，n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式
。
（2006年高考压轴题）
【分析与解】先考虑问题（I），其目标为：验证满足①和②。
①对任意的x∈[1，2]，都有∈（1，2）。
②存在常数L（0<L<1），使得对任意的∈[1，2]，有
。
其中①是很简单的，直接由条件“1≤x≤2”，构造目标中的，估计其取值范围即可。
实际上，由1≤x≤2，得3≤1+2x≤5，所以
1<≤≤∈<2，
于是有∈（1，2）。
对于②，我们分割目标，建立这样的解题主线：
——→。
解题的关键，是在当前状态中构造，这将
中的“根号”去掉（有理化）即可。
所以采用如下变形：
，
取，则结论成立。
下面考虑问题（II）。这是唯一性问题，通常用反证法。
假定还有，如何导出矛盾？先要明确解题的目标！
显然，由唯一性，我们要证明：
于是要在相关条件中构造。
哪一个条件与之接近？——显然是条件②。
由条件②，存在0<L<1，使
下面考虑问题（III），其目标很复杂，有两个一般性参数：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式
。
直接解决这个一般性问题比较困难，可采用“退”的策略来简化目标。
先考虑p=1的情形，目标变为：
（*）。
如果证明目标（*）还找不到思路，可继续用“退”的策略来简化目标！
比如，取定k=1时，则目标（*）变为
，它显然成立。
取定k=2，则目标（*）变为
对这个子问题，可分割目标，建立如下的解题主线：
——→
（从一边放缩到另一边）。
寻找条件，有:，
，…，
以及①对任意的x∈[1，2]，都有
f（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0<L<1），使得对任意的，都有
现在要由当前状态“”放缩到“”，而具有放缩功能的条件是条件②，这就要由当前状态先构造条件中的。
这利用另一个条件：即可。
于是，。
至此，利用条件②进行放缩，解题水到渠成：
。
由这一特例，已经可看出p=1（k任意）的一般问题的解决方案了：反复进行上述放缩即可。如果一时还没有看出规律，还可继续看看k=3的情形。
当k=3时，目标（*）变为
。
对这个子问题，可建立如下解题主线：
——→。
仿上，由先放缩到，进而放缩到。具体过程如下：
。
一般地，对p=1（k任意），我们有
，
结论成立。
对p=2的情形，解法类似，请大家自己完成（这是解决原题的关键）。
当p=2时，目标变为：
。（*）
注意：前面研究过程中的方法和结论都是值得借鉴的！
由上已经得到
，
它表明：任意相邻两项之差可以向转化（放缩变形）！它包含的不是一个不等式，而是无数个不等式（k可以任意取值）！
比如：
…
由此想到将以上两个不等式相加，有
至此，已经不难完成原题的证明了！
具体解答如下：
【新写】（I）对任意的x∈[1，2]，
有 3≤1+2x≤5，
所以1<≤≤<2，
于是∈（1，2），条件①满足；
对任意的，有
，
取，知条件②满足。
所以f（x）=∈A。
（II）
假定还有，
则由条件②，存在0<L<1，使
所以1≤L，与“0<L<1”矛盾，于是，满足条件的是唯一的。
（III）因为，
且
由条件①知，对n=1，2，…，有∈（1，2）。
进而，由条件②知，存在常数0<L<1，使对任意正整数n，有
于是，对给定的正整数k及任意的正整数p，有
，
命题获证。
附：四步解题法的框图如下：
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