用“开局简单,前方高能”这几个字来形容中考数学压轴题,是再贴切不过的了。不信看看这道与圆相关的压轴题:
如图, AB是⊙O的直径,弧AC=弧BC,AB=2,连接AC.
(1)求证:∠CAB=45度;
(2)假设直线l为⊙O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E,连接AD.
①试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论;
②EB/CD是否为定值?假设是,请求出这个定值;假设不是,请说明理由.
(1)证明:连接BC,∠ACB=90度;
∵弧AC=弧BC,∴AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45度.
瞧,第一小题是不是简单到让人不敢相信。但是如果你放松神经,以为后面的问题还是比较简单的话,那你恐怕就很难再紧张起来,解决后面的难题了。注意了“前方高能”。
(2)解:①AE=AD, 理由如下:
根据提示,作图(1),过D作DF⊥AB于F,
∵l为⊙O的切线, ∴CD⊥OC,
又OC⊥AB,∴四边形CDFO是矩形,
∴DF=OC=AB/2=BD/2,
∴∠ABD=30度,
∵∠BCD=∠ABD=30度,∠ACD=∠BAC=45度,
∴∠AED=∠BCD+∠ACD=75度,
又∠ADB=(180度-∠ABD)/2=75度,
∴∠ADB=∠AED,
∴AD=AE.
可能不少考生只注意到这种情形,而忽略掉下面还有一种情形,单图画出来,就能叫人冒一身冷汗。如果没有很好的作图能力,根本连图都画不出来哦。
作图(2),过D作DF⊥AB于F,与图(1)同理,有∠DBF=30度,
∴∠ABD=180度-∠DBF=150度,∠ADE=(180度-∠ABD)/2=15度,
∵∠CDE=∠DBF=30度, ∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=15度,
∵∠ACD=∠ACO+∠DCO=135度, ∴∠CAD=180度-∠ADC-∠ACD=30度,
∴∠AED=∠CAD-∠ADE=15度,
∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE.
如果题目到这里就结束,那还说得过去,下面这个问,更加高能。一般我们问EB/CD是否为定值,都是有关动点的。但这道题却并不是这样的,而是要求图1和图2中,两个EB/CD是否一样。
(②EB/CD是定值, 理由如下:
在图(1)中,过E作EH⊥AB于H,则EH=AE/根号2.
∵∠CDE=∠ABD=∠CAD, ∴△CDE∽△CAD,
∴CD^2=AC·CE,
又CD/AB=CE/AE,即CD·AE=AB·CE=根号2 AC·CE,
∴CD=AE/根号2,
∴CD=EH=EB/2, 即EB/CD=2.
看过程,挺轻巧的,实则要转换出这个关系来,并不是一件很容易的事情。图2的情形,也可以用类似的方法,不过老黄并没有按这个方法探究下去,因为两个图的差异还是比较大的,所以老黄用了另一种方法。
在图(2)中,记BE交⊙O于点G,连接BC,AG,过B作BH⊥CD于点H,
则DH=根号3 BD/2=根号3, CH=BH=BD/2=1, CD=CH+DH=1+根号3,
AG=AB/2=1, BG=根号3 AB/2=根号3,
设EG=x,则AE=根号(1+x^2),
Rt△BCE∽Rt△AGE,
BC/AG=BE/AE.
即根号2=(根号3+x)/根号(1+x^2),解得:x=2+根号3,
BE=EG+BG=2+2根号3,
∴EB/CD=2.
其实就算题干中没有给出AB=2这个条件,也是可以解的。不过就会麻烦很多。不知道这道题给了你什么样的体验呢?
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