如何理解环论中的三个同构定理？

在群论中，有了商群的定义，才有了群论中的三个同构定理，而商群又建立在正规子群的基础上，所以正规子群与群论中的三个同构密切相关。环论与之类似，在环论中，“理想”的概念正是对应于群论中的正规子群，而环论中三个同构定理正是来源于群论中的三个同构定理。

我们先看看如何模仿商群的构造过程来构造商环：设S是环R的子环，环中有两种运算：加法和乘法，其中加法运算构成阿贝尔群，所以对于加法运算，S就是R的正规子群，这样加法商群R/S是有定义的。现在的问题是如何定义R/S的乘法使得R/S构成环。我们当然希望商群乘法的定义和群论中商群乘法的定义保持一致，商群本质上就是所有陪集的集合，商群的乘法规则就是陪集之间的乘法规则，但是在这样的定义下，加法商群R/S在乘法下不一定构成环，现在我们的目标就是弄清楚加法商群R/S在乘法下构成环的充要条件是什么？

下面的引理给出了答案。

关于理想的定义和主理想整环PID的定义在”如何用环的理论解决著名的二平方和问题“这一篇文章讲过，就不再重复，现在来证明环论中的三个同构定理。