如图.在等腰Rt△ABC中.∠ACB=90°.D是AB边上的中点.点E.F分别在BC.AC边上运动.且保持AF=CE.连接DE.DF.EF.CD(1)求证:△DEF是直角三角形,(2)若AC=8...
题目内容
360docimg_0_如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的中点,点E、F分别在BC、AC边上运动,且保持AF=CE,连接DE,DF,EF,CD
(1)求证:△DEF是直角三角形;
(2)若AC=8,求四边形DECF的面积.
考点:全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题:计算题
分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=CD,利用三线合一及等腰三角形的性质得到∠CDE=∠A=45°,再由AF=CE,利用SAS得到三角形ACF与三角形CED全等,利用全等三角形的对应边及对应角相等得到DE=DF,∠ADF=∠CDE,利用等式的性质得到DE与DF垂直,即可确定出三角形DEF为等腰直角三角形;
(2)由AC=BC=8,利用勾股定理求出AB的长,根据三角形ACF与三角形DEC全等,得到两三角形面积相等,四边形DECF面积=三角形CFD面积+三角形CDE面积,等量代换即为三角形ACD面积,求出即可.
解答:(1)证明:∵△ABC为等腰直角三角形,D为AB的中点,
∴CD=AD=BD,∠CDE=∠A=45°,
在△AFD和△CED中,
,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴DE=DF,∠ADF=∠CDE,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠CDF=∠CED+∠CDF=90°,即∠EDF=90°,
则△DEF为等腰直角三角形;
(2)∵△AFD≌△CED,
∴△AFD与△CED面积相等,
在Rt△ABC中,AC=BC=8,
根据勾股定理得:AB=
=8
,
∴AD=BD=CD=4
,
则S
四边形DECF=S
△ADF+S
△CFD=S
△CED+S
△CFD=S
△ACD=
AD·CD=16.
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
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