趣味几何｜当三角形长出一对耳朵

——两只风干的耳朵帆似地张开，像在兜听天地间所有的秘密。

01当三角形长出耳朵

任意△ABC，当两边分别长出一只耳朵，会是什么样子的呢？让我们一起看一看：

或这样，如下图所示，以AB、AC为斜边向△ABC外侧（也可以内侧，后面述说）作两个等腰直角三角形：

或这样，如下图所示，以AB、AC为斜边向△ABC外侧作两个相似的直角三角形：

在这两个图中的△ADB和△AEC是不是很像△ABC的两只耳朵！接下来我们一起探究一下这两只耳朵会产生怎么样固定的结论。

02探究图形性质

取BC边中点F，连接DF和EF，则线段DF和线段EF之间存在怎样的关系呢？

典型例题1：

如下图：任意△ABC中，以AB、AC为底边向外侧作等腰RT△ABD和等腰RT△ACE，取BC中点F，连接DF、EF，试探究DF和EF的关系.

思路解析：

①有中点，则可构造“中位线”；

②有直角三角形，则可构造“斜中线”；

③取AB中点G，AC中点H，连接DG，FG，FH，EH；

解题步骤：

①△DGF≌△FHE（SAS），则DF=EF；

②重点证一下DF⊥EF.

FH平行AB，则∠DFH=∠FIG，即∠DFE+∠EFH=∠DGI+∠GDI，由△DGF≌△FHE知EFH=∠GDI，则∠DFE=∠DGI=90°.所以DF⊥EF.

所以得到：DF=EF，DF⊥EF.

典型例题2：

如下图：任意△ABC中，以AB、AC为底边向外侧作RT△ABD和RT△ACE，且∠BAD=∠CAE。取BC中点F，连接DF、EF，试探究DF和EF的关系.

思路解析：

①有中点，则可构造“中位线”；

②有直角三角形，则可构造“斜中线”；

③取AB中点G，AC中点H，连接DG，FG，FH，EH；

解题步骤：

△DGF≌△FHE（SAS），则DF=EF，证明方法同上；

所以得到：DF=EF

03拓展延伸

根据上面两个例题，得到了一个固定结论，那就是DF=EF。让我们回想一下初一学的一个图形，没有印象或者没有见过的同学需要好好复习了。

如下图：任意△ABC中，以AB、AC为直角边向外侧作等腰RT△ABD和等腰RT△ACE，取BC中点F，连接DE，AF，请探究DE与AF的关系.

思路解析：

①有中点，则“倍长中线”，可得△BAF≌△CGF（SAS）；

②倍长得平行，平行倒角，可得∠BAC+∠ACG=180°；

解题步骤：

△BAF≌△CGF（SAS），则DE=AG，即DE=2AF；

所以得到：DE=2AF.

如果我们将线段FA延长与DE相交于点H，根据△BAF≌△CGF（SAS）可知∠DEA=∠GAC，则倒角可知∠AHE=90°，即AF⊥DE.

综上可知：DE=2AF，AF⊥DE.

04总结

三对耳朵，三张图，三个结论。

趣味几何系列：

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