二次函数图像与对称旋转综合一题

1、如图所示，抛物线y=x^2+bx+c经过点A(2，0)，B(-1，0)，点C是抛物线在第一象限内的一点，且tanÐAOC=1/2，点D(0，1)，点M是x轴上的动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点M关于直线OC的对称点N落在抛物线上时，求点M的坐标；

(3)将△OBD绕某个点顺时针旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x^2+bx+c上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．

答案：（1）y=x^2-x-2；（2）M1（-10/9，0）,M2（5，0）；

（3）O1（1/2，-5/2），O2（1/4,-35/16），O3（3/4,-35/16）．

解析：（1）待定系数法，或已知a的情况下直接写出交点式y=(x+1)(x-2)，再化为一般式即可；

（2）如图，若存在点M关于OC的对称点在抛物线上；

则根据对称轴的性质可得：OC垂直平分MN；△OMN为以点O为顶点的等腰三角形，

且∠MON=2∠AOC，只需求出点O、N所在直线解析式，与抛物线联立可得交点N，继而求出点M

通过三角函数或全等可得点H坐标为（6/5，8/5）直线OH解析式为：y=4/3x．

联立：4/3x=x^2-x-2，解得x1=3，x2=-2/3．代入直线直线的点N1坐标为（-2/3,-8/9），点N2坐标为（3，4），构造全等三角形可得，M1（-10/9，0）,M2（5，0）【涉及代入求横纵坐标，中点坐标公式得运用】

（3）设点O坐标(x0，y0)，然后用x0的代数式表示出B、D坐标，代入对应坐标到抛物线，通过三角函数和位置关系列等式，求解即可；O1（1/2，-5/2），O2（1/4,-35/16），O3（3/4,-35/16）【细心一点还可发现O2、O3关于对称轴对称】