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有些数学题,解答时若方法不当,分析不到位,真有点“山重水复”之感,解答抛物线上的三角形面积问题,便是如此。下面笔者将用“三角形同底等高面积相等的性质”通过例题来分析抛物线上的三角形面积问题的几个知识点。
一、已知三角形两个顶点及面积求第三个顶点的坐标
1.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,P为抛物线上一点,且S△BCP=3,求P点的坐标。(“x2”表示x的平方,下同)
分析:令y=-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3,令x=0,得y=3,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3)
构造含有BC边且面积等于3的三角形,因OC=3,只需在x轴取点N(1,0)和M(5,0)便有BM=BN=2,
S△BMC=S△BNC= 1/2BM·OC= 1/2BN·OC=3
过M点作直线a∥BC交抛物线于P1,P2,过N点作直线b∥BC交抛物线于P3,P4,则S△BCP1=S△BCP2=S△BCP3=S△BCP4=3
∵直线BC的解析式为:y=-x+3,∵a∥b∥BC,
而M点的坐标为(5,0)N点的坐标为(1,0)
可得a:y=-x+5,b:y=-x+1
2.已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,P为抛物线上一点(不与B重合)
且S△BCP=2S△ABC,求P点的坐标。
分析,可求得A点的坐标为(-1,0),B(3,0),C(0,3)
∵S△ABC=3,∴S△BCP=6,构造含有BC边的三角形使其面积为6,
取点M(7,0),则MB=4,S△BMC=6,或取点N(-1,0)
则S△BNC=6,过M点作直线a平行BC交抛物线于P1,P2,过N点
作BC的平行线,显然与抛物线无交点。
可求得直线a的解析式为:y=-x+7
所以P点的坐标为(-1,6)或(4,3)
3.已知y=0.5x2+mx-2m-2(m>0)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C,抛物线上有一点D(-1,n),若△ACD的面积为5,
(1)求A,B,C三点的坐标(用含m的代数式表示);
(2)求m的值
分析:令y=0.5x2+mx-2m-2=0,
x1=2,x2=-2m-2,令x=0得,y=-2m-2
∴A点的坐标为(-2m-2,0),B点的坐标为(2,0),C(0,-2m-2)
(2)∵A(-2m-2,0),C(0,-2m-2)
∴OA=OC,∴AC:y=-x-2m-2
过D点作AC的平行线交x轴于E,则S△ACE=S△ACD=5
设DE:y=-x+b,∵D(-1,-3m-1.5),
∴-3m-1.5=1+b,∴b=-3m-2.5,
∴DE:y=-x-3m-2.5
令y=0得:x=-3m-2.5,∴A(-3m-2.5,0)
∴AE=xA-xE=(-2m-2)-(-3m-2.5)=m+0.5
∴S△ACE=0.5AE·CO=5,∴0.5(m+0.5)(2m+2)=5
∴m1=1.5,x2=-3(舍去)故m的值为1.5
二、已知三角形两个顶点及面积有最大值,求第三个顶点的坐标
4.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P抛物线上一动点,当△PAC面积最大时,求P点的坐标.
分析:令y=x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3,∴ A(-1,0),B(3,0),
将x=2代入抛物线解析式得,y=-3,∴C(2,-3)
可知AC:y=-x-1
过P点作直线PD平行于AC交x轴于D,当直线PD与抛物线相切于P点时S△ACP面积最大,
设PD:y=-x+b
看来解决抛物线上的面积问题的有关题,分析思考时,灵机一动,眼前一亮,找到好的解题方法,问题迎刃而解,又有“柳暗花明”之喜。
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