好眼力还需好脑力——2019年浙江金华中考几何压轴题

在解几何综合题的时候，题目所给参考图一般是相对准确的，而且线条之间也不会故意造成视觉障碍，倒是平时学生自己作图，由于不准确造成理解误差，更为普遍。但在今年浙江中考几何压轴题中，虽然参考图形很准确，但一样给考生带来了不便，主要是视觉上的，这种情况下，除了认真阅读条件之外，破除视觉干扰，便成为了解题关键。

题目

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14√2，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。

(1)如图1，若AD=ED，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：ED=2DO；

(2)已知点G为AF中点。

①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长；

②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

解析：

(1)对待几何综合题的第一小题，一定要快准狠，本小题给出的特殊图形就是等腰直角三角形，因此，当AD=ED，首先判断等腰直角△ADE，得出∠ADE=90°，迅速和∠DEF=90°产生联系，判断AD∥EF，再加上等量转换AD=DE=EF，顺利完成平行四边形ADFE的证明，最后由对角线互相平分完美解决；

(2)G是AF中点作为两个小题的总条件，无疑是对中点的运用得出了更高要求，当然，与中点有关的定理和方法实在太多，例如中线倍长法，直角三角形斜边上的中线，中位线，面积法等，实际到底该用哪一种，得分析具体条件，并无套路可言。

①保留了上一小题中的D为AB中点，再结合G也是AF中点，极易联想到三角形中位线，而本题又确实以它为突破口，于是连接BF，同时作DH⊥BC，FK⊥BC，如下图：

很容易证明DG是△ABF中位线，同时DH也是△ABC中位线，有这两条中位线，底气十足开始计算。等腰直角三角形三边之比为1：1：√2，利用好这个比例，计算过程中会非常简便。首先计算出BC=14，然后得到BE=12，由中位线DH得到BH=7，从而求出EH=5，同时观察△DHE和△EKF，可证它们全等，从而得到KF=EH=5，EK=DH=7，所以KH=EK-EH=2，BK=5，于是又得到一个等腰Rt△KBF，求得BF的长为5√2，于是得到DG=5√2/2；

②这是经典的直角三角形存在性探究，体现了分类思想，因此对于△DEG，D，E，G分别为直角顶点时，对应三种情形。本着先易后难的原则，当哪个角为直角时，比较容易呢？

这三个顶点中，点E本身就是Rt△DEF的直角顶点，因此，当它成为△DEG的直角顶点后，点E恰好在线段AF上，如下图：

过点D作DH⊥BC之后，一线三直角的模型显现了，设CE=x，由等腰Rt△BDH可得DH=BH=2，于是EH=12-x，由△DEH∽△ECA列出比例式，2:x=(12-x):14，整理得x²-12x+28=0，解得x=6±√2，这两个值都符合要求吗？x看上去没有超过范围(0<x<14)，事实上，另一个值真的存在，如下图：

接下来，考察点G为直角顶点的情形：

受第二小题的启发，点G为AF中点，连接BF后，再连接它和AB中点M，便可得中位线GM，同时，对于左下角那个△BKF，其实它也是等腰直角三角形，原因就是第二小题中我们曾经证明过的那对全等三角形△DEH≌△EKF，“一线三直角”，如下图：

由于△KBF是等腰直角三角形（第二小题已证）可得直角∠ABF，再加上GM是△ABF中位线，因此得到GM是AB的垂直平分线，即点C在直线GM上。现在可利用直线CM经过直角顶点G再次构造出“一线三直角”模型，△DGM∽△GEN；再观察△NEC，它也是一个等腰直角三角形，不妨设CE=x，于是EN=CN=√2x/2，而BE=x，且BH=DH=EK=2，所以BK=12-x=KF，计算出BF=√2(12-x)，求得GN=√2(12-x)/2，从而GN=7√2-√2(12-x)/2-√2x/2=√2，好了，全部准备工作完毕，可以在△DGM∽GEN中使用比例线段了，列出比例式后，求出x=2，推导演算如下：

最后，我们来考察D点为直角顶点的情形：

在经历了前两种情形的讨论之后，有一些结论是可以直接运用的，例如在D点为直角顶点的前提下，△DEH≌△EKF，等腰Rt△KBF，∠ABF=90°等条件依然成立，可节约不少思考时间。

依然构建“一线三直角”模型，只是这次过点G作DH的垂线，交其延长线于点M，同时延长MG交AC于点N，过点F作FP⊥AC交算线于点P，如下图：

仍然设CE=x，且DH=KE=2，与上一种情形的表示结果完全一样，先观察GN，经过AF中点且与FP平行，因此它是△APF的中位线，然后观察图中存在矩形KFPC和矩形MHCN，于是有BK=KF=EH=PC=12-x，所以AP=26-x，PN=13-x/2，CN=1+x/2=MH，可表示出DM=x/2-1，GN=1/2FP=1+x/2，最后得到GM=12-(1+x/2)=11-x/2，现在可利用△DEH∽△GDM列比例式求x的值了，结果为x=18±2√14，由于x<14，因此取x=18-2√14.

综上所述，若△DEG为直角三角形，CE分别为6+2√2，6-2√2，2，18-2√14.

推导演算过程如下：

解题反思：

令人印象最深刻的莫过于第三小题四种情形，而每一种情形都可以构造出“一线三直角”模型，因此在解完本题后，对于如何构造，我们可大致归纳如下：一线、三直角，当存在直角的时候，经过直角顶点作“一线”，同时向这条线分别作垂线，而经过直角顶点的直线，可以穿过直角内部，也可以在直角外部，这便是第三小题中屡次以直角顶点构造模型的依据，如下图：

特别是针对后两种情形，结图形中特殊直角三角形、特殊四边形的运用需要非常纯熟，才能让思维不受挫，在纷杂的线条中练就一身解题本领，除了好眼力还需要好脑力。

最后需要对本题参考答案中，点G为直角顶点时的解答提出个人质疑：

通常情况下，当点G为直角顶点时，求CE的长，逻辑顺序是已知点G为直角顶点，从而求CE，参考答案中先给出当DG∥BC时，再证明点G为直角顶点，略有不妥。另外对于本小题最后两种情形，添加辅助线较多，无疑将增大考生答题难度，初中阶段，辅助线添加不宜超过三条。命题时，还请充分考虑到学生作答实际，尽量减少需要添加的辅助线，毕竟中考也要体现人文关怀。