由于磁场有边界限制，带电粒子在匀强磁场中只做部分的圆周运动，解决该类问题，常用方法有三种，称之为“三板斧”.常用在同源粒子发射问题上，这三种方法统称为动态圆分析法.
一、放缩圆法
放缩圆法适用于：入射速度方向不变，大小变.（同向异速发射）
根据r=mv/qB，v大小变化，圆的大小也跟着变化，如同吹泡泡糖.
【例题】：一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L。现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v₀，方向与ad边夹角为α＝30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v₀的大小；
（2）若粒子带正电，且粒子能从ab边射出磁场，求v₀的取值范围。
【解析】
1.速度方向不变，大小变化.适合用放缩圆法.
2.临界条件是轨迹与边界相切.
【例题】如图所示为一方向垂真纸面向里的半圆形匀强磁场区域，O为其圆心，AB为其直径.足够长的收集板MN平行于AB且与半圆形区域相切于P点.0点放置一粒子源，可在OA到OB之间180°范围内向磁场内连续射入速率为v₀的带负电粒子已知 AB＝2L，粒子的质量均为m.带电荷量均为q.不计粒子的重力以及相互作用.
（1）若要使所有粒子均不能被收集板收集，所加磁场需满足的条件
（2）若所加磁场的磁感应强度为mv₀/qL，收集板上被粒子击中区域上靠近M端距P点的最远距离
（3）若恰有5/6的粒子能被收集板收集到，求所加磁场的磁感应强度.
【答案】
【例题】如图所示，环状匀强磁场围成中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘.设环状磁场的内半径R₁＝0.5m，外半径R₂＝1.0M，磁场的磁感应强度B＝1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为q/m＝4×10⁷C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度多大？
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度多大？
【解析】如图所示
【答案】
（1）1.5×10⁷m/s
（2）1.0×10⁷m/s
注意下列结论，再借助数学方法分析：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
（2）当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
（3）注意圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。
【例题】在一个边界为等边三角形的区域内，存在一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P点处有一个粒子源，发出比荷相同的三个粒子a、b、C（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子通过磁场的轨迹如图所示，用ta、tb、tc分别表示a、b、c通过磁场的时间；用ra、rb、rc分别表示a、b、c在磁场中的运动半径；则下列判断正确的是（）
A.ta＝tb＞tc
B.tb＞tc＞ta
C.rc＞rb ＞ra
D.rb ＞ra＞rc
【例题】如图所示，NP、MQ两板间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子以速度v₀从O点垂直射入.已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，两板之间的距离为d，两板长也为d，O点是NP板的中点.为了使粒子能从两板之间射出，求磁感应强度B应满足的条件.
【解析】如图所示，找到两个临界点.
二、旋转圆法
旋转圆法适用于：入射速度大小不变，方向变.（同速异向发射）
速度大小一样，所以圆的的大小是一样的，速度方向不一样，相当圆跟着在旋转.
包络线是以轨迹圆直径为半径的圆，是粒子能到达的最远距离.
旋转圆法准备一个圆片工具，比如硬币、光盘.
【例题】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×10⁶m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m＝5.0×10⁷C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度.
【解析】先画一轨迹圆，后顺时针旋转轨迹圆.
【提醒】要注意粒子的转动方向，是顺时针还是逆时针.一般粒子顺时针转，让动态圆也顺时针转.
【注意】左右两边没有对称性.
【例题】如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面。在纸面内的长度L＝9.1cm，中点O与S间的距离d＝4.55cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10⁻⁴T。电子质量m＝9.1×10⁻³¹kg，电荷量e＝-1.6×10⁻¹⁹C，不计电子重力。电子源发射速度v＝1.6×10⁶m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为I.则（AD）
A.θ＝90°时，l＝9.1cm
B.θ＝60°时，l＝9.1cm
C.θ＝45°时，l＝4.55cm
D.θ＝30°时，l＝4.55cm
【解析】
【例题】如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时，
（1）速度的大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
【例题】边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v。如图所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin35°≈0.577。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。
【解析】
【例题】一水平放置的平板MN上方有匀强磁场分布，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m、带电量为＋q的粒子以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域.不计重力和粒子间的相互影响.下图中的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mv/（Bq）.下列哪个图是正确的.（）
三、平移圆法
适用于：粒子速度大小，方向均不变，入射点发生变化，入射点发生变化，相当把轨迹圆平行移动.
【例题】一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压为U₀的加速电场，其初速度几乎为O，经加速后，通过宽为L的狭缝M沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上.已知甲、乙两种离子的电荷量均为＋q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹，不考虑离子间的相互作用.
（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x，
（2）在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d.
【解析】
【例题】利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q、速度不同的粒子，从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是(BC)
A.射出粒子带正电
B.射出粒子的最大速度为qB(3d＋L)/2m
C.保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D.保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
【总结】如果入射点、速度方向、速度大小都同时发生了变化，可以这三种方法并行使用.
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