平面几何最难的就是作辅助线了，一个个漂亮的证明真的叫人赏心悦目，叹为观止。但是在拍案叫绝之余，很多学生甚至我们老师都会问：这样的辅助线你是怎么想到的？
下面我们就通过一道例题来和大家聊聊如何添加辅助线。
例题：如图，在ΔABC中，∠ACB=45〫，点D是直线BC上的一个动点。以AD为一边在直线BC的同侧作正方形ADEF，其对角线AE、DF相交于点O。求证：OA=OC。
审题：由题意∠ACD=135〫，∠AED=45〫，所以∠ACD+∠AED=180〫，故A、C、D、E四点共圆，显然点O是其圆心，则OA与OC都是半径，必然相等。但是对角互补的四边形必有一个外接圆这个定理，现在教科书上不讲了（苏科版），我们如何用常规的方法来解决这道题呢？
细细分析，可以看到∠ACB=45〫，∠ACD=135〫，正方形ADEF的各边长及对角线的长度虽然是变化的，但其比值却是确定的，而且其夹角也是确定的。故我们考虑用几何的三大变换之一的旋转变换来寻求解答方法。
思路1：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点F）。显然点F绕旋转中心A顺时针旋转了90〫到D（等腰RT⊿ADF），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也顺时针旋转90〫，得到点G。因为AF=AD，所以此时的缩放比例为1:1。
解法1：过点A作GA⊥AC，交直线BC于点G，显然⊿GAC是等腰直角三角形。因为⊿GAC和⊿ADF都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点A，故⊿GAD与⊿CAF必定是全等的，而且是绕点A旋转了90度的全等（其实就是手拉手模型的旋转全等）！所以∠ACF=∠AGD=45〫，又因为∠ACB=45〫，所以∠FCG=90〫，从而∠FCD=90〫。显然点O是DF中点，故OC=OD，而OD=OA，故OA=OC。
既然可以顺时针旋转，那么当然也可以逆时针旋转，于是我们联想到如下第二种解法。
思路2：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点F）。显然点D绕旋转中心A逆时针旋转了90〫到F（等腰RT⊿ADF），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也逆时针旋转90〫，得到点G。因为AF=AD，所以此时的缩放比例为1:1。
解法2：过点A作射线GA⊥AC，且使AG=AC，再连接GF。显然⊿GAC是等腰直角三角形。因为⊿GAC和⊿ADF都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点A，故⊿GAF与⊿CAD必定是全等的，而且是绕点A旋转了90度的全等（其实就是手拉手模型的旋转全等）！所以∠AGF=∠ACD=135〫，又因为∠AGC=45〫，所以∠CGF=180〫，从而C、G、F三点共线。因为点O是DF中点，故OC=OD，而OD=OA，故OA=OC。
总结：解法1和解法2的核心就是以点A为旋转中心，将C、D或顺时针或逆时针旋转90度！辅助线的具体作法就是以AC为一直角边，作一个等腰直角⊿CAG，再和等腰直角⊿ADF构成手拉手模型！再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，全等必定有！
将上述思路进行拓展，我们还会得到更多的解法！请接着往下看！
思路3：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点O） 。显然点O绕旋转中心A顺时针旋转了45〫到D（等腰RT⊿AOD），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也顺时针旋转45〫，得到点G。因为AD=AO的根号2倍，所以此时的缩放比例为：根号2:1。
解法3：以AC为一直角边作等腰直角三角形⊿GAC。因为⊿GAC和⊿DAO都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点A，故⊿GAD与⊿CAO必定是相似的，而且是绕点A旋转了45〫的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！因为∠ACD=135〫，又因为∠ACG=90〫，所以∠GCD=135〫，所以∠ACD=∠GCD。这样⊿ACD与⊿GCD必定全等（SAS），因此DA=DG。再由⊿GAD与⊿CAO相似，可得OA=OC。
既然可以顺时针旋转，那么当然也可以逆时针旋转，于是我们联想到如下第4种解法。
思路4：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点O） 。显然点D绕旋转中心A逆时针旋转了45〫到O（等腰RT⊿AOD），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也逆时针旋转45〫，得到点G。因为AD=AO的根号2倍，所以此时的缩放比例为1:根号2。
解法4：以AC为斜边作等腰直角三角形⊿GAC。因为⊿GAC和⊿OAD都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点A，故⊿GAO与⊿CAD必定是相似的，而且是绕点A旋转了45〫的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠AGO=∠ACD=135〫，又因为∠AGC=90〫，所以∠OGC=135〫，所以∠AGO=∠CGO。这样⊿AGO与⊿CGO必定全等（SAS），故OA=OC。
总结：解法3和解法4的核心就是以点A为旋转中心，将C、D或顺时针或逆时针旋转45〫！辅助线的具体作法就是以AC为一边，作一个等腰直角⊿CAG，再和等腰直角⊿AOD构成手拉手模型！最后再结合全等解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等底角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！
下面再看两种解法。
思路5：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点E） 。显然点E绕旋转中心A顺时针旋转了45〫到D（等腰RT⊿AED），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也顺时针旋转45〫，得到点G。因为AE=AD的根号2倍，所以此时的缩放比例为1：根号2。
解法5：以AC为斜边作等腰直角三角形⊿GAC，显然点G落在BC上。因为⊿GAC和⊿DAE都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点A，故⊿GAD与⊿CAE必定是相似的，而且是绕点A旋转了45〫的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠ACE=∠AGD=90°。又因为O是AE中点，故OA=OC。
思路6：以点A为旋转中心来考察线段CD的两个端点C和D（参照点E） 。显然点D绕旋转中心A逆时针旋转了45〫到E（等腰RT⊿ADE），故我们同样以点A为旋转中心，将点C也逆时针旋转45〫，得到点G。因为AE=AD的根号2倍，所以此时的缩放比例为根号2:1。
解法6：以AC为一直角边作等腰直角三角形⊿GAC。因为⊿GAC和⊿EAD都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点A，故⊿GAE与⊿CAD必定是相似的，而且是绕点A旋转了45〫的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠AGE=∠ACD=135〫，又因为∠AGC=45〫， 所以∠EGC=180〫，所以E、G、C三点共线。因为∠ACE=90〫，又因为O是AE中点，故OA=OC。
总结：解法5和解法6的核心就是以点A为旋转中心，将C、D或顺时针或逆时针旋转45〫！辅助线的具体作法就是以AC为一边，作一个等腰直角⊿CAG，再和等腰直角⊿ADE构成手拉手模型！最后再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等底角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！
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