高中数学 | 放缩法在数列不等式中的应用

一、裂项相消法

形如…（c为常数）的题型，常要对数列中的通项进行裂项，达到放缩的目的。

例1、在数列中，已知

，

，求证：

…

。

分析：由

得到

，利用递推数列的通项公式求法，可求出数列

，故

。

证明：对所证式的左边通项进行裂项：

，

。

可得不等式：

左边

…

。

从而命题得证。

当所证明的式子中出现一些分式积及无理式的形式时，常要用到裂项相消法，对于

，以下结论：

，

，以及

 

都是常用到的。

二、利用迭乘法分拆

在形如

的题型中，可试着将

看做数列

的前n项之积，利用

来拆项。

例2、求证；

。

分析：令

，则利用

对其拆项可得。

证明：

。

又∵

（

，2，3，…，n），

∴

中各项都比

对应项大。

因此

。

即

本例借用恒等式

将

进行裂项，然后再证明对应的通项的大小关系而获证。