练习13: 折纸
大家在幼儿园就开始折纸了。折纸的结果是一种雕塑。但折纸的基础其实是几何学。折纸的时候要用到Huzita-Justin公理、Haga 定理等等数学问题。还有专门关于折纸的数学定理，比如前川定理、川崎定理等等。所以，不可思议的折纸是一种基于数学的科技艺术。
折纸今天不仅用于解释和教授算术，而且采用算法和理论来解决复杂的问题。安全气囊物流、太空望远镜镜头、建筑设计，甚至心脏支架都有折纸原理的基础。折纸一头通向数学，一头通向传统工艺，但又实实在在是雕塑。因此在美术学院的课程中理应占据重要地位，遗憾的是，除了设计学科的立体构成中有一部分折纸课程，它几乎被忽视了。
三浦地图折叠
折纸也是空间规划，而且是一种绝不浪费的规划。包豪斯以来折纸就被用来作为艺术和设计教育手段。很多以前不可能的复杂造型被开发出来，逐渐发展成算法折纸，今天人们已经开发了软件用来帮助折纸设计。事实上，好多折纸艺术家都有数学和科学背景。
一般人都会折叠纸飞机，但是要折出复杂的造型。需要借助软件设计。
1970 年代，日本天体物理学家三浦高丽发明了他的三浦地图折叠，也称为三浦织（Miura fold）。这是折纸镶嵌的一个例子，其中一个形状在整个表面上一遍又一遍地重复，没有间隙。在这种情况下，折痕图案是平行四边形的平铺，因此平铺的线条也遵循平折折纸的规则。三浦博士选择了他的折痕图案的山脉和山谷，这样模型就可以很容易地打开和关闭。
这种折痕法是折叠地图的一个很好的选择，因为它很容易打开和关闭。这种设计最终作为将大型太阳能电池板部署到外太空的策略。将每个平行四边形想象成一个太阳能电池，然后所有这些都通过铰链连接。然后，该阵列可以折叠成一个小包装，放在太空卫星上，然后再用火箭发射。一旦进入太空，它就可以通过简单的膨胀杆打开，而无需人手的帮助。
在中国纸在六世纪传入之后不久，折纸作为一种消遣在平安时代（794-1185）的皇宫兴起，从 1600 年代开始在普通民众中变得更加普遍。日本在 19 世纪后期采用德国幼儿园制度后，将东西方的折纸技术纳入日本课程，作为培养儿童数学、艺术和手工技能的方法。
除了日本的origami纸传统，12 世纪阿拉伯社会中也有折纸，人们用折纸来表达几何形式，并传播到西班牙，发展成为西班牙流行的Papiroflexia艺术形式。
复杂的折纸模型由许多复杂的褶皱组成。普通复印纸不适合这种折纸，就得用到牛皮纸
特种和纸等。当然，带有特殊图形和文字的报纸、纸钞票会带来潜在的语义。各种包装纸、烘焙纸或蜡纸甚至卫生纸都有人使用。
吉泽章（Akira Yoshizawa，1911-2005）是折纸历史上转折性的大师，被广泛认为是现代折纸艺术之父。作为一个农民的儿子，他在贫困的一生中不断完善自己的手艺，并开发出数千种新设计。他在1950 年代出版的新教程《新折纸艺术》（Atarashi Origami Geijutsu）改变了人们练习折纸的方式。吉泽章和美国的Sam Randlett一起发展一套国际通用的折纸图解术语，他们的标准模型和图表集至今仍在使用。
吉泽章于1954年创办了国际折纸研究会并担任会长。1955年他在阿姆斯特丹的展览使得西方人开始疯狂研究折纸。他还发明了现在广泛使用的“湿折叠”技术，使得折纸雕塑更富有雕塑感。在他的后半生，他写了十七本书来传播折纸，并成为日本文化大使。
我们的折纸练习，主要可以参考的教程也来自吉泽章、笠原邦彦等人的出版物。
我们下面要介绍的折纸艺术家的案例分别来自两个不同的传统，一个是雕塑折纸传统，一个是数学折纸传统。两个传统都涉及到平面上的空间想象和规划。
罗纳德·雷施（Ron Resch，1939-2009 ）是第一个正式描述各种折叠形式背后的数学关系的人，以涉及折叠纸、折纸镶嵌和3D 多面体的作品而闻名。。Resch 在爱荷华大学学习艺术并获得美术硕士学位，后来成为犹他大学计算机科学教授。他在1992 年的“《纸和胶》电影中记录了他的工作和方法。
他设计的著名的维格雷维尔彩蛋（Vegreville） ，这是第一个完全使用计算机辅助几何建模软件设计的物理结构。
罗纳德·雷施还曾在1979年电影《星际迷航：电影》的特效团队工作，为电影设计了多个结构，包括空间站Epsilon IX的几何设计。
http://www.ronresch.org/ronresch/gallery/paper-and-stick-film/
Ron Resch 在1960年代创建的一系列设计的封闭式 3D 镶嵌。
大卫·霍夫曼（David Huffman），同心圆塔
大卫·霍夫曼（David Huffman，1925–1999, 美国)是一位电气工程师，在加州大学圣克鲁斯分校任教。他以在MIT 读研究生时开发的无损压缩方法 Huffman 码而闻名，这是一种压缩方案，可以整合和传输数字数据，用于传真机、调制解调器、计算机网络和高-高清电视（HDTV）。霍夫曼同时也是开发算法折纸的伟大先驱，包括 3D 多面体和弯曲形式。与主要使用直线折叠的传统折纸相比，霍夫曼开发了基于弯曲折叠的抽象和几何结构，创造一些非常复杂和原创的折叠。激发了后来的Erik 和 Martin Demaine 以及 Jeannine Mosely 等人的灵感。
今天麻省理工博物馆的David A. Huffman 收藏品包括 108 个成品模型、90 个工作纸模型、126 个平面折叠模型、1 个便条卡盒、2 个超大档案材料盒和 5 个线性英尺的档案材料。
这种“地震”模式由许多笔直的褶皱组成。计算每个折叠的位置并手动绘制在表面上。
阿诺德·图碧斯（Arnold Tubis，(b.1932, American) 在普渡大学教授物理学40 年。自 1960 年代初以来，他与人合著了9本关于折纸的书籍，还发表了七篇关于在数学教育中使用折纸的文章，将古老的折纸艺术与高中和初中数学相结合，帮助学生发现和应用代数和几何中的重要概念。他自己则折叠了很多盒子---折叠盒作为特殊的装饰礼品容器、有趣的储物容器或纯艺术品，是一种特殊的折纸流派。
https://www.tubisorigami.com/
珍妮·莫斯利，烟熏镶嵌，10' x 15'，纸，2011
珍妮·莫斯利，人字形镶嵌，10' x 15'，纸，2011
珍妮·莫斯利，弯曲折纸，10' x 15'，纸，2008
珍妮·莫斯利 (Jeannine Mosley，b.1953, American)毕业于麻省理工学院，电气工程和计算机科学博士。
她用非常规材料制作折纸——名片。她最出名的是她的名片《门格尔海绵》（Menger Sponge），这是一个单边长1.5 米的立方体，在11 年的时间里，由66,048 张折叠名片制成，这是一种数学分形，它通过不断地将立方体的每个面分成九个正方形并去除每个面中间和原始立方体中心来产生较小立方体。随后，她完成了类似的分形，例如莫斯利雪花海绵。
莫斯利认为折叠折纸结构是赋予数学定理或公式生命的一种方式。她最近的折纸作品侧重于以模块化形式和镶嵌形式折叠曲线。使用微分几何来开发一种算法，可以计算出直折和弯曲折痕的形状和位置，这些折痕用于描述布料在打褶时的某些形式。
“2008 年，我发明了“or-egg-ami”，一种用鸡蛋盒编织几何雕塑的艺术。我受到经典罩衫图案的启发，创作了这种纸质镶嵌。在工作服中，织物背面的细小针脚形成褶皱，使正面的布料形成有序的枕头。用纸重新制作这些枕头是一项特殊的挑战，因为表面必须是可开发的。我推导出方程式来确定此设计所需的弯曲和直线折痕的形状和位置。所得积分缺乏封闭形式的解，并进行数值求解。我将主要区域打印到卡片纸上，将其剪下并用它在一张更大的纸上安排设计的多次重复。接着用压花工具“划线”，然后折叠”。
沿曲线折叠与折叠直线非常不同。这通常会导致必须自支撑的更大跨度的纸张，因此使用的材料也不同：大多数折纸尽可能薄，而弯曲的折纸通常需要非常重的纸张或卡片纸。
克里斯蒂娜和沃杰德克·波捷克（Krystyna & Wojtek Burczyk）（生于 1959 年和 1960 年，波兰）Krystyna Burczyk 教授数学已有 20 多年。1995年她开始折纸，通过创建几何模型探索折纸与数学之间的关系。她的丈夫和艺术合作者 Wojtek Burczyk 也在 1995 年开始折纸，在数学和计算机科学方面也有类似的背景。他们一起在社区内推广折纸，并参加国家和国际折纸展览。
罗伯特·J·朗 (Robert J. Lang)博士生于1961 年，他利用数学开发创新模型，用自己的知识与科学家和工程师合作，利用他对安全气囊软件、医疗设备和望远镜光学中的折叠技术的理解，在未切割的正方形纸设计出复杂而逼真的形式。郎的著作《折纸设计的秘密》，被认为是折纸设计的开创性研究之一。
罗伯特·J·朗曾在加州理工学院的 NASA 喷气推进实验室工作。2000 年，劳伦斯利弗莫尔国家实验室与他接洽，以帮助他们开发比哈勃望远镜大 40 倍的眼镜望远镜。朗使用算法折纸来确定如何折叠镜头，他称之为“伞”，以便它可以紧凑地发射，然后在太空中重新打开。最终他甚至放弃了他作为激光物理学家的日常工作，专注于折纸的艺术和科学。他现在是世界上最受尊敬的折纸艺术家之一，他写了一个计算机程序来生成等复杂件折叠模式来帮助他创造一个一英尺锦鲤，覆盖着无数重叠的鳞片。
angorigami.com
罗伯特·J·朗，Emperor Scorpion HP，作品 593，2011，一张未切割的韩国韩纸正方形
“垂直池塘 II”展示了成群的彩色锦鲤鱼——由 60 张未切割的纸雕刻而成——排列在墙上。不远处，他的“Pentasia”是由500张黄色和灰色的方格纸折叠、交错、堆叠而成，就像一座微型城市。
汤姆·赫尔（Tom Hull）（1969 年生，美国）在罗德岛大学获得图论的数学博士学位，如今是马萨诸塞州西新英格兰大学的数学副教授。他被称为折纸数学的杰出权威。他撰写了折纸指导书、大量折纸数学研究论文，并撰写了折纸计划(AK Peters/CRC Press)，这是一本关于将折纸数学纳入大学数学课程的书。折纸计划，解释了折纸如何用于教授数学——不仅是几何，还包括微积分、抽象代数、拓扑学等等。他的折纸作品多为模块化形式，展示了数学与艺术的交集。赫尔的研究发展了一些折纸的数学基础，他的历史分析揭示了以前被其他学者忽视的数学折纸贡献。他经常在从高中到高等大学研讨会的课程中教授折纸数学。他最受欢迎的折纸作品是《PHiZZ 单元》（PHiZZ unit）。
汤姆·赫尔说：“我一直在练习折纸，几乎和我做数学的时间一样长。折纸的部分魅力在于它具有简单、优雅的美感以及令人惊叹的复杂性，所有这些都在同一组约束范围内。这很好地反映了数学的吸引力。几何折纸，这是我的大部分艺术作品的所在，它努力以物理形式表达几何、代数和组合学中数学概念的内在美。折纸提供的限制（仅折叠，不切割，一张纸或如果允许多张纸则进一步限制）以类似于被挑战的方式挑战艺术家是一个数学问题”。
汤姆·赫尔，褶裥多片锥，16 英寸 x 16 英寸 x 5 英寸，象皮纸，2011
克罗地亚裔美国数学家和计算机科学家戈兰·孔捷沃德（Goran Konjevod，1973年生） 是一位数学家和理论计算机科学家，2005年，他开始创作自己的折纸设计，发展出一种棋盘格子镶嵌风格。
他的作品大多是由纸上的张力形成的抽象不规则图案，具有扭曲、螺旋和层叠的纹理抽象形式。
此外值得一提的是他使用一种染色的纸，作品呈现出梦幻般的色彩渐变。
海因内兹·斯楚玻（Heinz Strobl，生于1946 年，德国）开发了两种用纸条进行模块化折纸的新技术。分别叫做Knotology和Snapology，纸条被折叠成多边形棱柱单元，再拼接形成几何形状。
埃里克·德麦涅和马丁·德麦涅
出生于加拿大的数学天才埃里克·德麦涅（Erik Demaine）在 14 岁时就完成了他的理学学士学位---他上大学的时候还这么小，以至于他的流浪雕塑艺术家父亲只能放弃流浪来MIT陪读。读博士期间，埃里克在1998年通过数学方法证明了“将一张纸折叠若干次，然后只剪一刀，便可以创造出各种想要的形状”，并发表了一篇名为“Folding and One Straight Cut Suffice”的论文。到 20 岁，他的博士论文是计算折纸领域的一项开创性工作，并为他赢得了麦克阿瑟天才奖。2001 年他22岁时成为麻省理工学院有史以来最年轻的教授。他一直是算法折纸领域的领先理论家，研究折叠纸可以做什么，他探索折纸在建筑、机器人和分子生物学中的应用。他和父亲合作的折纸号称“Curved-Crease Sculpture”（曲面褶皱雕塑），通常剧烈地旋转，匪夷所思。
下面这三件作品已被纽约现代艺术博物馆（MoMA）收藏。
他们的网站是erikdemaine.org。
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