【译者按：阅读本文需要一定数学基础，可以参考：无穷和的记法、无穷级数的一些性质】
曾经，有个闪瞎眼的数学结论风靡一时，它说：把所有自然数加起来（1+2+3+4……），得到的结果是-1/12。下面这个视频说的就是这件事，它说自己证明了这个结果，而且还说这个结果在物理学里很常用。大家都觉得自己的小学算术白学了，连《纽约时报》（需翻墙——译者按）也做了报道。那么，那个视频到底在说什么呢？
首先我可以给大家吃一颗定心丸：所有自然数的和不等于-1/12。拿起计算器，算算这些部分和你就明白了：
以此类推。n取得越大，也就是加进去的自然越多，Sn就越大。只要n够大，你想让Sn有多大就能让它有多大。例如，对n=1000可得
对n=100000可得
所以，数学家认为1+2+3+4+……发散到无穷大。或简单说就是它等于无穷大。
那么-1/12是从哪冒出来的？这个错误结果其实是著名的印度数学家拉马努金（上图）在1913年搞出来的。拉马努金很清楚自己在干什么，他写出这个结果是有理由的。他当时在研究欧拉ζ函数。关于这个函数，我们先来看看下面这个和
可以看出，它是把每个自然数平方后取倒数加起来的和：
这个和不发散。如果像上面那样写出它的部分和序列：
后面的结果可以任意接近（而不超过）π^2/6=1.644934……。数学上称它的和收敛于π^2/6，或就说它的和等于π^2/6。
如果分母不取2次幂，而取x呢？相应的和式列出如下：
只要x是大于1的数，上式就能收敛到一个有限值。对每个x>1，S(x)都有一个确定的值，这样的式子称为函数，而S(x)则特别以17世纪杰出的数学家欧拉之姓命名为欧拉ζ函数。
到现在都还好。但如果向其中代入小于1的数会怎样？比如，如果代入x=-1，就有
这样就回到了我们最开始的和式，我们知道它是发散的。同样的结果对其它小于等于1的x都一样：和式发散。
不过，我们还是能搞出点名堂来。用点高级的数学（称为复分析，见小贴士）我们可以将欧拉ζ函数的定义域拓展到x小于等于1并让它给出有限值。换句话说，就是有一种方法可以定义一个新函数ζ(x)，对x>1
而对x≤1函数ζ(x)有有定义的有限值。这种拓展的方法称为解析延拓，由此得到的新函数称为黎曼ζ函数（以18世纪的数学家黎曼之姓命名）。（让新函数在x≤1时给出有限值用了一个巧妙的方法，即，将原发散和减去另一个发散和，两个无穷大相减得到一个有限量。）
小贴士
如前所述，欧拉ζ函数S(x)定义域为x大于1的实数。实数是复数这个大数域的一部分，实数对应于一条无限长直线上的点，复数则对应于包含了实数轴的整个平面上的点。这个平面称为复平面。我们可以定义自变量取实数的函数，同样也可以定义自变量为复数的函数（称为复变函数）。
复变函数一个奇特的性质是：如果你知道函数对某个自变量集合有意义，那么（通过一些技术手段）你就可以知道函数在复平面其它点上的值。拓展函数定义域的方法称为解析延拓。欧拉ζ函数定义在大于1的实数域上，因为实数也是复数，我们可以把它看成一个复变函数，然后用解析延拓的方法得到一个定义在整个复平面上、但在大于1的实数域上复合欧拉ζ函数的新函数。这个新函数就是黎曼ζ函数。
好了，现在我们的ζ(x)和欧拉ζ函数S(x)在x>1时是一样的。而代入x≤1的值时，ζ函数能得到有限值。那么，如果代入x=-1会得到哪个值呢？你也许已经猜到了：
如果在x=-1时你错把ζ(x)等同于S(x)，你就得出了这个（错误的）式子：
这就是对拉马努金谜之表达式的一种解释。
小诡计
那么，视频里的人是怎么“证明”所有自然数的和等于-1/12的呢？答案是，他们其实没并没有证明。看他们的视频就像看魔术师怎么把兔子塞进魔术帽里。他们“证明”的第一步是让你相信下面这个无穷和
等于1/2。
视频没有在这做什么解释，好像这个结果理所当然。但我们来仔细看看事情是不是这样。假设1-1+1-1+1-1……有一个有限值Z，将它自加一次得到
但这就是最开始的和式（这个结论是有问题的。如果拼接后的式子还是1-1+1-1……，那么就能确定前一个序列以+1-1结束——译者按），由此得
因此，如果Z=1/2，就会得出1/2=1的荒谬结论。所以认为无穷和1-1+1-1+1-……等于1/2的说法是错误的。其实，你可以用一个发散的无穷和凑出各种结果。这就是个鬼把戏罢了。
物理里出现的是什么？
那么，这个怪异的错误结果为什么会出现在视频里那样的物理教材里呢？这才是这个问题有意思的地方。设想你有两块导电的金属板，并把它们平行放置在真空中。根据经典物理学，这两块板之间应该不存在任何净相互作用力。（不考虑万有引力——译者按。）
但经典物理处理不了在微小尺度下出现的奇特现象，此时你需要量子物理。量子物理会告诉我们各种奇怪的事情，其中一个是，真空并不是空的，而且还充满活力：每时每刻都有所谓的虚粒子翻滚着出现和消失。这些活动带来所谓的零点能：这是物质在绝对零度时具有的最低能量。
当你用量子物理的数学计算这两块金属板之间的能量密度时，你会得到如下的无穷和：
这个式子就是将x=-3代入欧拉ζ函数时得到的式子：
悲哉！这个和是发散的（比S(-1)发散得还快），这说明能量密度无穷大，显然没意义。如果死皮赖脸地认为这个无穷和等于黎曼ζ函数（而不是欧拉ζ函数）在x=-3时的值会怎样？这样就可以得到一个有限的能量密度，说明两块金属板之间有一个吸引力。这也是很奇怪的，因为按经典物理就不存在这个力。
但是大旗已经竖起来了！物理学家做了实验，真的发现了这个力，并且它对应的能量密度正好等于ζ(-3)！
这个惊人的结果称为卡西米尔效应，以荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔之姓命名。（图示如下：Casimir plates为卡西米尔平板，Vacuum fluctuations为真空涨落。）
让我们稍微花点时间来看看。量子物理认为能量密度为
这是没意义的，但实验证明，如果你（错误地）将这个和当成是ζ(x)在x=-3时的值，就可以得到正确的结果。看来自然也用了我们上面提到的方法，它将欧拉ζ函数延拓到x小于等于1的范围，巧妙地减掉一个无穷大，然后得到一个有限值。屈服吧，凡人！
至于在视频和课本里出现的是ζ(-1)和S(-1)而非ζ(-3)和S(-3)的原因，是因为一维卡西米尔效应的能量密度用ζ(-1)计算。（三维就是ζ(-3)了。）（课本嘛，重在基本理论而非实际，能简则简——译者按。）
所以视频里的家伙为啥要发这么个视频？他们当然知道解析延拓可以让函数在原定义域外获得定义，但这些对他们的视频来说技术性高了些。他们知道解析延拓的方法得到的最终结果是对的，就没说这些难的，而耍了点小手段。这样他们的视频得到了一百万的点击量，也让大家伙开始谈论ζ函数和数学。在这点上我祝贺他们。ζ函数非常奇妙，我们在上面说的只不过是一系列神奇的数学性质的开头。（国内有一本和黎曼函数有关的比较专业的科普书：《黎曼猜想漫谈》——译者按。）在向大众传播数学和物理时，我们总要为怎么解释做一些取舍，而我们也要凭良心来权衡精确与易懂的界线究竟该划在何处才是。
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