Γ函数的前世今生

Γ函数

组合数学、数学分析、数理统计、统计力学等领域中的很多问题都涉及到阶乘运算。前面介绍过通过Γ函数可将阶乘的定义从自然数集推广到实数集(Γ函数与广义阶乘函数)。利用推广后的阶乘运算可将涉及阶乘的相关问题推广(广义二项式定理)，这不仅可以使已有理论得到拓展，还可以为一些问题提供更简单的解决方法(斯特林公式)。

Γ函数，也叫第二类欧拉积分，在实数域上的定义为

定义域为(0,+∞)。Γ函数在定义域上的值恒大于零且导数连续。事实上，在实部大于零的复平面上，上述积分都是收敛的，因此Γ函数定义域还可以推广到复平面上实部大于零的区域。

Γ函数的重要性质

Γ函数的重要性主要取决于它的几条重要性质，这些性质可以由函数方程描述，包括递推公式、Legendre公式和余元公式。

递推公式

特别地，当s为正整数n时，根据上述递推公式可知

而

从而有

因此根据Γ函数可将阶乘的定义域从自然数集延拓到实数集(-1,+∞)上，即

此外，由递推公式变形可得到

上式等号右边的部分在(-1,0)上有意义，因此可以用上式来定义Γ函数在(-1,0)上的值，这样以后，上式等号右边的部分在(-2,-1)上又有意义，进一步又可用上式定义Γ函数在(-1,0)上的值。以此类推，就可以将Γ函数的定义域延拓到(-∞,+∞)\{0,-1,-2,-3,…}上。那么自然也可以根据延拓后的Γ函数将阶乘的定义域进一步延拓。

Legendre公式

余元公式

根据余元公式和Γ函数的定义可以方便求出一个重要的定积分，即

可以看出结果中含有圆周率π，这也是正态分布函数表达式中出现π的原因。

伽玛函数的由来

用Γ函数可以将阶乘的定义域推广，在历史上Γ函数确实也是由于为了推广阶乘的定义域而被发现的。

1728年，哥德巴赫在思考数列插值的问题时，希望将阶乘的定义推广到一般实数集上，且推广后的函数图像在定义域内是光滑的。他自己没能解决这个阶乘往实数集上延拓的问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利。由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。1729年，仅22岁的欧拉年解决了这个问题，伽玛函数由此诞生。

欧拉的思路

根据等比数列求和公式或泰勒公式可知

另外又有

比较上述两个关于x的幂级数展开式的各项系数可知

将k取任意使积分收敛的实数就得到了阶乘运算在实数集上的延拓。再令

就可以得到Γ函数的定义式。

Γ函数的公理化定义

事实上，若函数f在(0,+∞)上导数连续，且同时满足三个函数方程：Γ函数的递推公式、Legendre公式、余元公式，及f(1)≠0，那么函数f是唯一的。因此可以将满足上述函数方程和附件条件的函数定义为Γ函数。这就是Γ函数的公理化定义。

函数方程很适用于对函数进行公理化定义，公理化定义形式比较抽象，但意义通常更加明确。