常用积分公式表·例题和点评

⑴

  (

为常数)

⑵

特别，

, 

,  

⑶

⑷

,   特别，

⑸

⑹

⑺

⑻

⑼

,特别，

⑽

,特别，

 

⑾

或

⑿

⒀

⒁

  

⒂

⒃

⒄

⒅

⒆

⒇

（递推公式）

跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)

例24  含根式

的积分

⑴

[套用公式⒅]

⑵

(请你写出答案)

⑶

[套用公式⒃]

⑷

(请你写出答案)

⑸

[套用公式⒄]

⑹

(请你写出答案)

⑺

[套用公式⑼]

⑻

(请你写出答案)

例25  求原函数

.

解  因为

所以令

从恒等式

(两端分子相等)，可得方程组

解这个方程组(在草纸上做)，得

. 因此，

右端的第一个积分为

(套用积分公式)

类似地，右端的第二个积分为

所以

（见下注）

【注】根据

,则

因此,

例26  求

.     【关于

，见例17】

解  令

(半角替换)，则

于是，

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数

的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

 或

确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如

等

都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.