子弹打木块模型

符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒。

重要结论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即：

。

共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒，满足动量守恒定律和

。

例1. 子弹质量为m，以速度

水平打穿质量为M，厚为d的放在光滑水平面上的木块，子弹的速度变为v，求此过程系统损失的机械能。

解析：

 ①

对子弹用动能定理：

②

②式中s为木块的对地位移

对木块用动能定理：

③

由②③两式得：

④

由①④两式解得：

例2. 如图1所示，一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度

从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为

，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。

图1

解析：可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度，再根据动能定理或动量守恒求出转化为内能的量Q。

对物块，滑动摩擦力

做负功，由动能定理得：

即

对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力

对木块做正功，由动能定理得：

即

对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：

①

本题中

，物块与木块相对静止时，

，则上式可简化为：

②

又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：

③

联立式②、③得：

故系统机械能转化为内能的量为：

点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即

。

例3. 如图2所示，两个小球A和B质量分别为

，

。球A静止在光滑水平面上的M点，球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动。假设两球相距

时存在着恒定的斥力F，

时无相互作用力。当两球相距最近时，它们间的距离为

，此时球B的速度是4m/s。求：

（1）球B的初速度；

（2）两球之间的斥力大小；

（3）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间。

图2

解析：（1）设两球之间的斥力大小是F，两球从开始相互作用到两球相距最近时所经历的时间是t，当两球相距最近时球B的速度是

，此时球A的速度

与球B的速度大小相等，

。由动量守恒定律可得：

①

代入数据解得

（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时，它们之间的相对位移

，由功能关系可得：

 ②

代入数据解得

（3）根据动量定理，对A球有：

代入数值解得

例4. 要发生核聚变反应

，需使氘核和氚核具有足够的能量，用以克服原子核之间的库仑斥力做功，从而达到核力的作用距离（

）。常用的方法是将这些氘和氚加热到几千万度以上的高温，在这种超高温状态下，原子中的电子很快游离出来，原子核处于离子状态。已知中子的质量为m，氘核、氚核的质量分别为

和

，氘核、氚核的质量分别为m₁和m₂，具有

，氘核和氚核的电荷量都为q。

（1）假设氘核和氚核以相等的速率在相距较远处沿同一直线相向运动，当两核距离最近为

时核力发生了作用，则两核的初动能分别为多大？（已知两点电荷相距无穷远时电势能为零，相距r时的电势能为

）。

（2）若两核反应后先形成动能为

的复合核，然后沿复合核运动方向放出中子和

光子（不计

光子的动量）转变成氦核。设放出中子和

光子后产生的氦核的速度为零，质量为

，求

光子的频率。

解析：（1）设氘核和氚核的初速大小都为

，则当两核距离最小时，它们的速度相等，设都为

，则由动量守恒

解得

由动量守恒知，两核动能的减少等于增加的电势能：

解得

所以氘核和氚核的动能分别为：

（2）设中子的速度大小为

，则由动量守恒得：

所以

则中子的动能：

光子的能量为：

反应过程中由质量亏损产生的能量为：

由能量守恒得：

解得

例5. 一根不可伸长的长为

的细绳一端固定在O点，另一端连接一个质量为M的沙摆，沙摆静止。如图3所示，一个质量为m的子弹以初速度

沿水平方向射入沙摆而未穿出，若子弹射入时间忽略不计，求沙摆上摆的最大高度。

图3

错解：子弹射入沙摆过程中，子弹沙摆组成的系统动量守恒，设两者共同速度为

，因此有

所以子弹、沙摆的共同速度为

此后子弹、沙摆一起上摆，由机械能守恒定律知：

所以沙摆上摆的最大高度：

解析：本题的物理过程并不复杂，前面的解答思路基本正确，但结果不完整，因为沙摆上摆以后所能达到的最大摆角可能在

以内，也可能超过

，甚至可以在竖直平面内做完整的圆周运动。前面的解答只默认了最大摆角小于

这一情况，因而造成漏解。

子弹射入沙摆过程中，子弹、沙摆组成的系统动量守恒，因此：

得到子弹、沙摆的共同速度为：

1. 若

，沙摆的最大摆角不超过

，由机械能守恒定律知：

所以沙摆上摆的最大高度：

①

2. 若

，沙摆可以在竖直平面内做完整的圆周运动（在最高点速度不小于

），沙摆上摆的最大高度：

②

3. 若

，沙摆的最大摆角超过了

，但又不能在竖直平面内做完整的圆周运动。实际上当沙摆摆动到某一位置时，绳子会松弛。设沙摆的速度为

，如图4所示，因此由机械能守恒，有：

图4

由重力的径向分力提供向心力，有：

解得：

以后沙摆将以

为初速做斜上抛运动，其竖直向上的分速度

，所以沙摆还能上升的高度为：

因此沙摆一共能上升的高度为：

③

其中

综合以上①②③三式，才是本题的完整答案。

【巩固练习】

矩形滑块由不同材料的上下两层粘结在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度

水平射向滑块，若射击上层，则子弹恰好不射出；若射击下层，则子弹整个儿恰好嵌入，则上述两种情况相比较（ ）

A. 两次子弹对滑块做的功一样多；

B. 两次滑块所受冲量一样大；

C. 子弹嵌入下层过程中，系统产生的热量较多

D. 子弹击中上层过程中，系统产生的热量较多

图5

【参考答案】A B