从数列求和谈数学基本思维能力（思想方法）

 （文/南宁许兴华）

我们先从课本的最简单的例子说起。

同学们好好回顾一下：我们怎样推导等差数列{an}的前n项和公式呢？

【问题1】  200多年前,   德国数学家高斯在它10岁时计算 1+2+3+…+100 是这样算的: (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101′50,   由此启示,   如果知道等差数列的首项和末项，我们如何求它的前n项的和 ？

上面的方法，我们称之为数列求和的“倒序相加法”。

就像上面的问题2，当我们遇到一个似乎相类似的题目时，你是怎么求解的？

上面的分析告诉我们：当两个实数的和为1时，它们的函数值为定值1，即

若m+n=1，则f(m)+f(n)=1.那么，我们怎样求和呢？联想到等差

数列的求和方法，我们很自然地想到“倒序相加法”，问题则获解！

以上问题的获解，我们用的是一种“类比联想”的思维方法。

【问题3】我们怎样推导等比数列{an}的前n项和公式呢？

上面的课本的推导方法，我们称之为数列求和的“错位相加法”。

现在，我们想想另辟溪径来解决这个求和问题。

上面的另辟溪径的推导方法，其实是一种“构造思想”和“方程思想”的结合，要点是：我们如何在等式Sn的右边构造出一个Sn来,从而求一个Sn的一元一次方程。

在初中的数学竞赛辅导中，我们应该见过这样的一个“等比（例）性质”：

上面的另辟溪径的推导方法，其实也还是一种“构造思想”和“方程思想”的结合，要点是：利用上面的“等比（例）性质”，我们如何在等式Sn的右边构造出一个Sn来,从而求一个Sn的一元一次方程，使问题获得圆满解决。

【问题4】我们怎样利用数列求和的“裂项相消法”解题呢？

其实，最简单的“裂项相消法”的例子是：

下面，我们来变形出一系列的题目，考一考你的数学基本思维能力。同学们，你们敢不敢试一试：你们会做吗？?match?