换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论如下：log a(b)表示以a为底的b的对数。换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1）。

基本信息

• 中文名：换底公式
• 英文名：base changing formula for lograithms

• 适用学科：数学、计算机
• 适用范围：对数的计算，高中数学
• 公式成立条件：a,c均大于零且不等于1
• 推论个数：2

形式

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换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)

表示以a为底的b的对数。

换底公式就是

log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1）

推导过程

若有对数

log（a）（b）

设

a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)

如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）

则

log（a）（b）=log（n^x）(n^y)

根据对数的基本公式

log(a）(M^n)=nloga(M)

和 基本公式

log(a^n)M=1/n×log(a) M

易得

log(n^x)(n^y)=y/x

由

a=n^x,b=n^y

可得

x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：

log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：

log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1

应用

数学对数

在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底。.

通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题；

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有[ln]和[log10]的按钮，但却没有[log2]的。要计算log2(3)，你只有计算log10(3) / log10(2)（或 ln(3)/ln(2)，两者结果一样）；

工程技术

在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，

例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。