函数图像对称性和函数周期性

王建鹏

咸阳渭城中学一级数学教师，教学经验丰富，课堂组织能力强，语言生动形象，多次被评为先进个人，先进教育工作者。

本期特别邀请王建鹏老师为大家解读对称性和周期性之间的关系。

（1）函数f(x)图像关于直线x=a及x=b对称，则函数f(x)是以T=2｜b-a｜为周期的函数（类比正弦函数y=sinx）

证明：由已知f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)

∴f(2a-x)=f(2b-x)，∴f(2a+x)=f(2b+x),

∴f(x)=f(2b-2a+x)∴T=2(b-a)

（2）函数f(x)的图像关于点（a,0）及(b,0)对称，则函数f(x)是以T=2｜b-a｜为周期的函数（类比正弦函数y=sinx）.

证明：由已知f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)∴f(2a-x)=f(2b-x)，

∴f(2a+x)=f(2b+x),

∴f(x)=f(2b-2a+x)∴T=2(b-a)

（3）函数f(x)的图像关于点（a,0）及直线x=b对称，则函数f(x)是以T=4｜b-a｜为周期的函数（类比正弦函数y=sinx）。

证明：由已知f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x)

∴f(2b-x)=-f(2a-x)，∴f(2b+x)=-f(2a+x),

∴f(x)=-f(2a-2b+x)=f(4a-4b+x)

∴T=4(a-b)

此时f(x)也以4｜b-a｜为周期.

注：以上结论在选择，填空题中可直接引用，在解答题中需进行证明，证明方法模仿结论的证明方法即可。

华商报记者 董淑鸽